寒假作业04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系5类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0 几何观点 dr dr dr 二、圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 图形 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线与圆的位置关系 1．若直线 与圆 相切，则 （     ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的方程配方，根据题意列出关于的方程，即可得解. 【详解】由配方得，则圆心为,半径为, 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，则, 即，解得. 故选：C. 2．已知圆，直线与圆相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】已知圆，圆心， 直线，即, 由于直线与圆相切，则，则. 故选：C 3．（25-26高三上·全国·月考）若圆与直线相切，则圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由圆的标准方程得到圆心坐标及半径，利用点到直线的距离公式建立方程，求出圆的半径的具体值，再利用圆的面积公式求解即可. 【详解】由题意可知圆的方程为， 其圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离，显然， 所以，解得，于是圆的面积． 故选：D． 4．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切线长 【分析】根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解． 【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 5．（25-26高二上·福建南平·期中）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、直线的点斜式方程及辨析、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先写出直线的点斜式方程，转化为一般式方程，求出圆心到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】由题可知，直线的方程为，即. 由圆：得，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高二上·天津静海·期中）经过点，并且与圆相切的直线方程是 . 【答案】或． 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值，进而得切线方程． 【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为1． 易知直线与圆相切， 设斜率存在的切线方程为，即， 由，解得，切线方程为，即． 故答案为：或． 题型二 圆的弦长问题 1．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）直线与圆相交于两点，则弦长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】利用几何法求圆的弦长即可. 【详解】由的圆心为，半径为， 而到的距离为， 所以. 故选：A 2．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值、直线过定点问题 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先分析直线的特征，再结合圆的性质计算弦长（弦长，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）的可能整数值，进而确定直线的数量. 【详解】将直线的方程整理为：， 令，解得，因此直线过定点， 因为圆：的圆心为，半径， 所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内）， 设圆心到直线的距离为，则弦长公式：， 由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离）， 因此：，代入弦长公式得： (时，；当时，). 因为为整数，结合范围，可能的整数值为、. 当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程： ，得，对应1条直线； 当时，由弦长公式，解得，即， 圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得： ，，， 此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线. 所以对应1条，对应2条，共条. 故选：B. 4．（25-26高二上·天津南开·月考）已知直线与圆的交点为A，B，则线段的长为 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，然后求出圆心到直线的距离，最后根据勾股定理求出弦长. 【详解】圆的方程化简为， 所以该圆的圆心坐标为，半径. 所以圆心到直线的距离为， 根据勾股定理得，所以. 故答案为：4. 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线被曲线（其中不同时为0）截得的弦长为 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】联立方程，消元，求得交点，根据两点之间距离公式得到弦长． 【详解】首先联立，消元得， 设，则方程为，解得或， 因此当时，，交点为原点，（舍去） 当时，或，交点为， ， 所以直线被曲线截得的弦长为. 故答案为：. 题型三 圆的切线问题 1．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知切线求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】切线长、求直线交点坐标 【分析】求出圆心和半径及，根据切线长公式求得结果． 【详解】直线与轴的交点， 圆，即， 则圆心，半径， ， 故切线长， 故选：C． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】切线长 【分析】利用圆的切线长公式求解. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 则切线长为， 当时，切线长取得最小值， 此时点，且，即点在圆外，满足题意. 故选：A 5．（25-26高三上·福建福州·月考）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】已知切线求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 6．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知为直线上一点，过引圆的切线，则切线长的最小值为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切线长、求点到直线的距离 【分析】圆心，当垂直于直线时，切线长最短，从而可求解. 【详解】由题可得圆的圆心，半径， 设切点为，则， 所以当垂直直线时取到最小值， 此时. 故答案为：. 7．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故答案为：4. 8．（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 【答案】或5 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 题型四 圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆的圆心距及两圆的半径，通过比较圆心距与两圆半径之和、半径之差的大小关系来判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标，半径；圆的圆心坐标，半径. 圆心距：，又，所以，故两圆外离. 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，． 若圆和圆相交，则，解得或． 故选：C． 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两圆的公共弦长、由标准方程确定圆心和半径、相交圆的公共弦方程 【分析】将两圆方程作差，可得其公共弦所在直线的方程，根据点到直线距离公式，可得圆心到公共弦所在直线的距离d，根据圆的半径为，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】已知圆，圆， 圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，所以，所以两圆相交， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离， 又圆的半径为， 所以公共弦长为． 故答案为： 4．（25-26高二上·四川绵阳·月考）圆和圆的公共弦所在的直线方程 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】将展开得一般式方程，与圆联立，即可得答案. 【详解】圆展开可得，即， 与圆联立可得，即， 所以两圆公共弦所在的直线方程为. 故答案为： 题型五 与圆有关的最值、对称问题 1．（安徽省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题（A卷））已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、切线长、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设，，点关于直线的对称点为，可得，，结合图形的性质运算求解即可. 【详解】圆，可知圆心为，半径， 设，，点关于直线的对称点为， 则，， 可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求点关于直线的对称点 【分析】求出圆心关于的对称点，结合图形可得的最小值为 【详解】设圆心关于的对称点为，则解得即，    所以.N为与直线交点时等号成立， 故选：B 3．（25-26高二上·重庆·期中）设点、，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线关于直线对称问题 【分析】求出直线关于对称的直线的方程，根据直线与圆有公共点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】点关于直线的对称点为，且点在直线上， ，所以直线的方程为， 即直线的方程为， 由题意可知，若直线关于对称的直线为直线， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高二上·天津静海·期中）已知点为圆上一点，则的最大值为 ，求取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可求出圆心坐标与半径，记圆心为，又表示点到的距离的平方，求出，即可求出的最大值，令，再由圆心到直线的距离，求出的取值范围. 【详解】圆，即， 记圆心为，半径， 点为圆上的点，表示点到的距离的平方， 又，所以，所以的最大值为； 令，则，即， 又直线与圆：有公共点， 所以圆心到直线的距离， 整理得，解得，即取值范围为. 故答案为：；. 题型五 综合应用 1．（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）直线平分圆面积，意味着直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求； （2）直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径来求. 【详解】（1）∵直线把圆分成面积相等的两部分， ∴圆心在直线上， 即，解得； （2）由题知，圆的圆心为，半径为， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离， 解得或. 2．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii）或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数、直线过定点问题 【分析】（1）将圆化为标准方程，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求半径，进而求出的值. （2）（i）将直线方程整理为含参数的形式，解方程组确定直线所过的定点坐标. （ii）分切线斜率存在与不存在两种情况，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解切线方程. 【详解】（1）的标准方程为，故圆心为， ，故， 故 （2）（i）直线方程可化为， 故， ∴直线过定点. （ii）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得， 故方程为， 综上所述切线方程为：或. 3．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆，圆. (1)若与相交，求的取值范围； (2)若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、求点到直线的距离 【分析】（1）根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系，即可求解； （2）先求出两圆的公共弦，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为与相交，则，又， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）由和，作差得到， 所以两圆公共弦方程为， 由题有，整理得到，解得，又， 所以. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 1．（25-26高二上·宁夏·月考）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】根据可求得点轨迹方程为，再求方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可解. 【详解】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、数量积的坐标表示、直线过定点问题 【分析】求出，由得到三点共线，设弦PQ的中点为，得到，利用，得到E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，利用点到直线的距离求出E到l的最小距离，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，即，计算得解. 【详解】直线，， ，，，,三点共线， 设弦PQ的中点为，连接OE，则，即， ∴，，， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则E到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为. 故选：C． 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 4．（25-26高二上·新疆·月考）某海域有相距20海里的两座灯塔和，为警示船只避开一片暗礁区，海事部门划定了一个封闭的危险区域（包含边界以及内部）.该区域边界可以理解为所有满足“到灯塔的距离与到灯塔的距离之比为”的点的集合.已知灯塔和在平面直角坐标系中的坐标分别为，，某船试图沿直线从两灯塔正中间安全穿越这片海域，则直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆 【分析】求出危险区域边界对应曲线的方程，可知对应曲线是圆，分斜率不存在和斜率存在两种情况，设直线的方程，根据圆心到直线的距离大于圆的半径可求得倾斜的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围. 【详解】设区域边界上任意点，则，化简得. 由题可知，直线经过线段的中点. 当直线的斜率不存在时，即倾斜角为时，直线的方程为，此时，点到直线的距离为，可以安全穿越； 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即. 则，所以或，此时倾斜角的范围是. 综上所述，直线倾斜角的取值范围为. 故选：C. 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，其“欧拉线”为，圆，则（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为4，则 C．若，则圆上有且只有两个点到的距离为1 D．若圆上有三个点到的距离都为1，则 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、切线长、由直线与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】A选项，利用勾股定理写出的表达式即可求最小值；B选项，求出两条高的交点得出垂心，由重心坐标公式得出重心，则可求出欧拉线的方程，则由弦长可求；C选项，求出圆心到的距离的范围，结合几何关系得出结论；D选项，由几何关系得出的值，解出即可. 【详解】A选项，，当时，，A正确； B选项，重心坐标， ，则边上的高的方程，即， ，则边上的高的方程，即， 联立得，即垂心， ，欧拉线即， 由于圆的半径为2，若直线被圆截得的弦长为4，则过圆心， 即，B错误； C选项，圆心到的距离， 若，则， 则圆上有且只有两个点到的距离为1，C正确； D选项，若圆上有三个点到的距离都为1，则， 则，D错误. 故选：AC. 6．（25-26高二上·天津津南·月考）直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线过圆心求出，然后可得直线的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 由题意可知，直线经过圆心，所以，解得，所以， 又直线的斜率为1，所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以，直线被圆所截得的弦长为. 故答案为： 7．（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、已知切线求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 8．（24-25高二上·陕西渭南·月考）已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求点关于直线的对称点 【分析】求得圆心与半径，由题意求得对称点，分斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用切线的性质及点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】圆，即， 则圆心，半径， 设点关于的对称点为， 则线段的中点，直线的斜率， 可得，解得，则点， 若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆C相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或． 1．（25-26高三上·北京·月考）已知曲线：，下列说法正确的是（    ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由方程研究曲线的性质 【分析】因为曲线C中含有，所以对分情况讨论，得到曲线C的方程，因为方程含参数，所以需要对分，，三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可. 【详解】对于①：因为，所以有， 即为：当时，， 当时， 当时，曲线C即为，关于y轴对称， 当时，曲线C表示的是关于y轴对称的圆的部分图象. ①正确； 对于②：当时，，所以曲线C过点，， 当时，，即：，所以曲线C过点，， 当时，曲线C与坐标轴有两个交点，当时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误； 对于③：当时， ， 如图所示： 当时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 由②知，曲线C过，两点， 当时，如图所示： 由图可知，曲线C恒过，，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 当时，如图所示： 由图可知，曲线C同样恒过，，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 且时，区域面积介于和之间， 所以曲线C围成的区域面积是关于a的增函数，③正确； 对于④：当时，若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点； 若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确. 故答案为：C 2．（25-26高二上·山东潍坊·期中）（多选题）数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C．当与轴相切时， D．图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】已知切线求参数、求直线与圆交点的坐标、轨迹问题——圆 【分析】A：设与轴交于，根据条件判断出的位置，则结果可知；B：取中点，根据作出判断；C：设出点坐标，根据相切关系求解出的坐标，然后可求解出，则结果可知；D：根据条件先判断出与有且仅有一个公共点时与轴交点纵坐标有最大值，然后由点到直线的距离公式求解出点纵坐标，则结果可知. 【详解】对于A：设与轴交于，连接，如图所示， 因为为的直径，所以轴， 当时，则，此时点即为点， 所以与轴公共点坐标为和，故正确； 对于B：取中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以，且， 所以点运动轨迹为圆心为，半径为的圆，故正确； 对于C：设，且， 所以中点，， 当与轴相切时，，化简可得， 由，可解得， 所以，故错误； 对于D：如图所示，设与轴交于点(轴正半轴上的点)，则， 逆向思考，对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当点距离轴最远时，与有且仅有一个公共点， 设，则， 所以到的距离为，解得，所以， 所以与轴的交点到轴距离的最大值为，故正确； 故选：ABD. 3．（2025·上海奉贤·一模）运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定： （1）将足球看成一个质点； （2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行； （3）射门时，足球与球门之间无防守员； （4）足球场平面图是一个矩形； （5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、，两个角球点为、，是半场分界线．    对于区域内，射门点， 对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时，时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点． 对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当 时，最大．此时，点是最佳射门点． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】作的外接圆，得到圆心所在直线，由圆的圆心角和圆周角的关系找到最大时两点的位置关系，即可求得的值. 【详解】如图，，设 作的外接圆，∵，，∴圆心在轴正半轴上. 则， ∴当最大时，取最大值， ， ∴， ∴当取最小值时，取得最小值，∵，所以取最大值， 又∵，点为直线上动点， ∴当时，取得最小值， 此时，即. 故答案为：.      4．（25-26高二上·四川成都·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，，即， 整理得，则，解得，即， 点到直线的距离为， 由得， 当且仅当三点共线时取等号， 此时直线的斜率为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线， 所以的最小值为.    故答案为： 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0 几何观点 dr dr dr 二、圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 图形 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线与圆的位置关系 1．若直线 与圆 相切，则 （     ） A． B． C．3 D．2 2．已知圆，直线与圆相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高三上·全国·月考）若圆与直线相切，则圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 5．（25-26高二上·福建南平·期中）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则 . 6．（25-26高二上·天津静海·期中）经过点，并且与圆相切的直线方程是 . 题型二 圆的弦长问题 1．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）直线与圆相交于两点，则弦长（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高二上·天津南开·月考）已知直线与圆的交点为A，B，则线段的长为 . 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线被曲线（其中不同时为0）截得的弦长为 . 题型三 圆的切线问题 1．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·福建福州·月考）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为 ． 6．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知为直线上一点，过引圆的切线，则切线长的最小值为 7．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为 . 8．（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 题型四 圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为 ． 4．（25-26高二上·四川绵阳·月考）圆和圆的公共弦所在的直线方程 ． 题型五 与圆有关的最值、对称问题 1．（安徽省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题（A卷））已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）设点、，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ． 4．（25-26高二上·天津静海·期中）已知点为圆上一点，则的最大值为 ，求取值范围为 . 题型五 综合应用 1．（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 2．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 3．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆，圆. (1)若与相交，求的取值范围； (2)若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 1．（25-26高二上·宁夏·月考）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（   ） A． B．2 C． D．3 4．（25-26高二上·新疆·月考）某海域有相距20海里的两座灯塔和，为警示船只避开一片暗礁区，海事部门划定了一个封闭的危险区域（包含边界以及内部）.该区域边界可以理解为所有满足“到灯塔的距离与到灯塔的距离之比为”的点的集合.已知灯塔和在平面直角坐标系中的坐标分别为，，某船试图沿直线从两灯塔正中间安全穿越这片海域，则直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，其“欧拉线”为，圆，则（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为4，则 C．若，则圆上有且只有两个点到的距离为1 D．若圆上有三个点到的距离都为1，则 6．（25-26高二上·天津津南·月考）直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 ． 7．（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 8．（24-25高二上·陕西渭南·月考）已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是 ． 1．（25-26高三上·北京·月考）已知曲线：，下列说法正确的是（    ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 2．（25-26高二上·山东潍坊·期中）（多选题）数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C．当与轴相切时， D．图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 3．（2025·上海奉贤·一模）运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定： （1）将足球看成一个质点； （2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行； （3）射门时，足球与球门之间无防守员； （4）足球场平面图是一个矩形； （5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、，两个角球点为、，是半场分界线．    对于区域内，射门点， 对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时，时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点． 对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当 时，最大．此时，点是最佳射门点． 4．（25-26高二上·四川成都·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $