必考点06 圆的方程-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点06 圆的方程 题型一 求圆的标准方程 例题1求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． 【解析】(法一：待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (法二：几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 【解题技巧提炼】 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． 题型二 点与圆的位置关系 例题1如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外． 【解析】(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6. 又由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝ ＝， 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离： |CM|＝ ＝； |CN|＝ ＝＞； |CQ|＝ ＝3＜. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 【解题技巧提炼】 1．判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 题型三 圆的一般方程 例题1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 【解析】　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜， 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 【解题技巧提炼】 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 题型一 求圆的标准方程 1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 2.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________． 【答案】(1)D；(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25；(3)(x－1)2＋(y－1)2＝4 【解析】(1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心， 半径为|AB|＝＝5， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. (2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (3)方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题意知解得 ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 方法二　由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上， ∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1， 则AB的垂直平分线为y－0＝x－0. 解方程组得 ∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝2. 则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 题型二 点与圆的位置关系 1.点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　) A．－1＜a＜1　　　　　B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1 【答案】A　 【解析】由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1. 2．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由已知条件可得，即，解得. 故选：AD. 题型三