必考点05 平面上的距离-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点05 平面上的距离 题型一 两点间的距离 例题1已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形． 【证明】法一：∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝， 又|BC|＝＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， ∴△ABC为直角三角形． 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 【解题技巧提炼】 1．计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 题型二 点到直线的距离 例题1求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4. 【解析】(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0， 由点到直线的距离公式可得d＝＝. (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 【解题技巧提炼】 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 题型三 两平行线的距离 例题1求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程． 【解析】法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)， 则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝， 由题意，得＝2，所以C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝， 解得C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 【解题技巧提炼】 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 题型一 两点间的距离 1.已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 【解析】设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得 ＝， 即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1. 所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝＝2. 2．直线：与：及：所得两交点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即直线与的交点坐标， 由，得，即直线与的交点坐标， 所以.故选：C 题型二 点到直线的距离 1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A.　　　　　　B．2－ C.－1 D.＋1 【答案】C 【解析】由点到直线的距离公式知d＝＝＝1， 得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1. 2．点到直线的距离为______. 【答案】2 【解析】由点到直线的距离公式，可得， 即点到直线的距离为. 故答案为：. 题型三 两平行线的距离 1.两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． 【答案】 【解析】因为两直线平行，所以m＝2. 法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝＝. 法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝. 2.已知直线，，若，且这两条直线间的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 若，则，不合题意，； 方程可化为， 间距离，解得：， 到坐标原点的距离为.故选：A. 一、单选题 1．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得：， 由可得，所以定点， 直线可化为， 由可得，所以定点， 当时，直线方程为，，此时两直线垂直， 当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直， 所以，所以， 故选：C. 2．x轴上任一点到定点 、 距离之和最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】x轴上任一点到定点(0, 2)、( 1,1)距离之和最小值，就是求解(0,2 )关于x