必考点04 两直线的交点-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点04 两直线的交点 题型一 求两直线的交点坐标 例题1判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋； (3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋. 【解析】(1)解方程组得 所以l1与l2相交，且交点坐标为. (2)解方程组 ②×6整理得2x－6y＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． (3)解方程组 ②×6－①得3＝0，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2. 【解题技巧提炼】 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． (1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 题型二 直线过定点问题 例题1求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点． 【解析】法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5. 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上， 即直线恒过点P(9，－4)． 法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立， 则有得 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)． 【解题技巧提炼】 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 题型一 求两直线的交点坐标 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【解析】(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 2．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立方程组，解得， 因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得， 设直线的倾斜角为，其中，即，解得， 即直线的倾斜角的取值范围是.故选：D. 题型二 直线过定点问题 1.求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 【解析】法一：由方程组 解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1， 直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0. 法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0. 2．已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】与是直线为常数)上两个不同的点， 的斜率存在， 即，并且， ①②得：， 即. 方程组有唯—解. 故选︰B. 一、单选题 1．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（　　） A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣7＝0 C．2x+y+7＝0 D．2x﹣y+7＝0 【答案】B 【解析】联立方程，解得x＝3，y＝﹣1， 故所求直线l过点（3，﹣1）， 由直线x+2y+1＝0的斜率为，可知l的斜率为2， 由点斜式方程可得：y+1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣7＝0，故选：B 2．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．D． 【答案】B 【解析】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧， 所以， 解得或. 即的取值范围是.故选：B 3．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形