笔记 第三章 圆锥曲线的方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【志鸿优化训练】人教版

M笔记&必记 第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 核心·呈现 1.定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 用集合语言叙述为P={M|MF1+MF2|=2a,2a>|F1F 名师点睛 1)对椭圆定义的理解,要抓住常数2a>|F1F2|这一条件; (2)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表 条件 结论 2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆 2a=F, F 动点的轨迹是线段F1F 2a<F1F2|动点不存在,因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 a2b=1(a>b>0) (a>b>0) 图形 焦点坐标 (士c,0) (0,士c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 ⑦名师点睛 椭圆的两种标准方程中,总是a>b>0,即椭圆的标准方程中,哪一项的分母大,焦点就在相应的那个 轴上;反过来,焦点在哪个轴上,相应的那一项的分母就大 3.椭圆的几何性质 标准方程 a2+b=1(a>b>0) y+x=1(a>b>0) 图形 数学 第三章圆锥曲线的方程 续表 标准方程 =1(4>b>0) a2b=1(a>b>0) 顶点坐标 (士a,0),(0,士b) (士b,0),(0,士a) 对称 x轴、y轴 焦点坐标 (士c,0),c= (0,±c),c=√a2-b2 离心率 对称中心 原点 范围 a,b,c之间的关系 a2=b2+c2;a>b,a>c,b与c大小不定 名师点睛 椭圆的焦点决定椭圆的位置,范围决定椭圆的大小,离心率决定椭圆的扁平程度,对称性是椭圆的重要 特征,顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆重要的特殊点,若已知椭圆的标准方程,则根据a,b的值可确定 性质 拓展延伸 点和椭圆的位置关系 已知椭圆方程为+=1(a>b>0),则 点P(x,y)在椭圆外台+>1; 点P(x,y)在椭圆上台x+2=1; 点P(x0,y)在椭圆内 4.直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系: 相交—直线与椭圆有两个不同的公共点 相切—直线与椭圆有且只有一个公共点; 相离—直线与椭圆没有公共点 2)直线与椭圆的位置关系的判断: ①代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去y,整理得到关于x的方程Ax2+Bx+C=0.记该一元 次方程根的判别式为Δ,①若Δ>0,则直线与椭圆相交;②若Δ=0,则直线与椭圆相切;③若△<0,则直线 与椭圆相离 ②几何法:在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系.此方 法尤其适用于直线方程含参数(直线过定点)的情况,若直线所过定点在椭圆内或椭圆上,则直线与椭圆必 有交点 (3)弦长公式: 设斜率为k的直线被椭圆截得的弦为AB,若A,B两点的坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB|=√(x1-x2)2+(y-y2)2=√1+k2x1-x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2 或当k≠0时,AB 当k=0时,直线平行于x轴,所以AB|=|x1-x2|. 数学·3 M笔记&必记 (4)弦中点问题 涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时,常用“点差法”“设而不求法”,并借助 元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.但在求得直线方程后,一定要代 人原方程进行检验. 用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤: ①设点—设出弦的两端点坐标; ②代入—代入圆锥曲线方程 ③作差—两式相减,利用平方差公式把相减后的式子展开 ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式求解. 典例·剖析 【例3-1—1】下列说法中正确的是 A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是 椭圆 D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 【解析】A中,FF2=8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A错误 B中,到F1,F2两点的距离之和等于6,小于F1F2|,这样的点不存在,所以B错误;C中,点M(5,3)到F, F2两点的距离之和为√(5十4)2+32+√(5-4)2+32=4√10>|F1F2|=8,则其轨迹是椭圆,所以C正 确;D中,轨迹应是线段F1F2的垂直平分线,所以D错误.故选 【答案】C 【例3-1-2】已知△ABC的周长是8,且B(-1,0),C(1,0),则顶点A的轨迹方程是( A.x+y=1(x≠±