2.2 基本不等式- 2021-2022学年新教材高中数学必修第一册基础知识手册

### ! 基本不等式 一!知识点归纳 !# 几个重要的不等式 ! ! " ' # "( # 5 #'( ! ' $ ( " ! "!当且仅当 ')( 时取等号" # 变形式# '( , ' # "( # # ! ' $ ( " ! "!当且仅当 ')( 时取等号" # ! # "!基本不等式"槡'(, '"( # ! ' * * $ ( * * "!当且仅当 ' )( 时取等号" # 变形式# '"( 5 #槡'(!'**$(**"$'( ! , '"( " # # ! ' $ ( " ! "!当且仅当 ')( 时等号成立" # ! $ " ' # "( # ") # 5 '("()")' ! ' $ ( $ ) " ! "!当且仅当 ')()) 时取等 号" # ! % "若 '( * * $则( ' " ' ( 5 # !当且仅当 ')( 时取等号"&若 '( - * $则( ' " ' ( , +# !当且仅当 ')( 时取等号" # ## 几个著名的不等式 ! ! "平均不等式# # ! ' " ! ( ,槡'(, '"( # , ' # "( # 槡# !'$(均为正实数"!当且仅当' )( 时取等号"$即两个正数的调和平均数 , 几何平均数 , 算术平均数 , 平方平均 数 # ! # " ' # ! "' # # " % "' # , 5 ! , ! ' ! "' # " % "' , " # # 二!重难点释义 重难点 ! ! 怎样挖掘基本不等式证明中的思维方法" 提示 ! 基本不等式#槡'(, '"( # ! ' * * $ ( * * "$即两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数$当且仅当两数相等时两者相等 # 注意这个不等式的结构特征$对其进行不同的等价变形$将会产生多种证明不等 式的思维方法 # ! 证法 ! #作差配方比较大小$即比较法 ) 1 ) 第二章 '"( # +槡'() ! # /!槡'" # " !槡(" # +#槡'.槡(0) ! # !槡'+槡(" # 5 * !当且仅当槡') 槡($即')(时$取')("# " 证法 # #注意根式的特征$平方转换$即分析法 要证槡'(, '"( # $只要证 #槡'(,'"($只要证*,'+#槡'("($只要证*,!槡' +槡(" # # 因为最后一个不等式恒成立$所以槡'(, '"( # 成立$当且仅当槡')槡($即')( 时$取' ) ( # # 证法 $ #对不等式'"( # 5槡'($寻求以形助数$即几何法 如图$以 '"( 为直径作圆$在直径 $% 上取一点 & $使 $&)' $ %&)( $过 & 作弦 334 7 $% $则 &3 # )&$ . &%)'( $从而 &3) 槡'($而半径 '"( # 5 &3)槡'($当且仅当')(时$取')(# 取' ) (的含义# 一方面是当 ')( 时取等号$即 ')( 1槡'() '"( # & 另一方面是仅当 ')( 时取等号$即槡'() '"( # 1 ')(# 重难点 # ! 如何理解基本不等式的重要变形" 提示 ! !# 若 ' $ ( " ! $则 ' # "( # 5 #'( 6 '( , ' # "( # # 6 ' # "( # 5 ! '"( " # # $当且仅当 ')( 时取等号& ## 若 ' $ ( " ! $则 '( , ! '"( " # % $当且仅当 ')( 时取等号& $# 若 '( * * $则( ' " ' ( 5 # $当且仅当 ')( 时取等号& %# 若 ' * * $ ( * * $则 ' # "( # 槡# 5 '"( # 5槡'(5 # ! ' " ! ( $当且仅当 ')( 时取等号 # 该不 等式链揭示了两正数倒数和-积-和-平方和之间的不等关系$当某一部分为定值时$ 其余三部分都能取到最值$且都在两数相等时取到最值 # 利用这个不等式链往往能使 复杂问题简单化$要在理解的基础上记忆和应用 # 其中 # ! ' " ! ( $槡'($ '"( # $ ' # "( # 槡# 分别称为正数 ' $ ( 的调和平均数-几何平均数-算术平均数-平方平均数 # ) 2 ) $