2.3 二次函数与一元二次方程!不等式- 2021-2022学年新教材高中数学必修第一册基础知识手册

数学必修第一册 !" ##$ ! 二次函数与一元二次方程!不等式 一!知识点归纳 !# 一元二次不等式的定义 一般地$我们把只含有一个未知数$并且未知数的最高次数是 # 的不等式$称为 一元二次不等式 # 一元二次不等式的一般形式是 '* # "(*") * * 或 '* # "(*") - * $ 其中 ' $ ( $ ) 均为常数$ ' ) *# ## 一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 '* # "(*") * * !或 - * "! ' ) * "解集的步骤#一化#化二次项的 系数为正数&二判#判断对应方程的根&三求#求对应方程的根&四画#画出对应函数的 图像&五解集#根据图像写出不等式的解集 # 规律#当二次项系数为正时$大于取两边$小于取中间 # 二!重难点释义 重难点 ! ! 怎样求解一元二次不等式" 其步骤是什么" 提示 ! 借助相对应的二次函数与一元二次不等式-一元二次方程的关系$可提炼 出一元二次不等式 '* # "(*") * ! 5 " * ! ' ) * "或 '* # "(*") - ! , " * ! ' ) * "的求解方 法 # 当 ' * * 时$解形如 '* # "(*") * * ! 5 * "或 '* # "(*") - * ! , * "! ' ) * "的一元二 次不等式$一般可分为三步# !# 确定对应方程 '* # "(*"))* 的根& ## 画出对应函数图像的简图& $# 由图像得 出不等式的解集 # 求解过程中$必须考虑对应的二次函数图像的开口方向! ' * * 或 ' - * "$对应的 一元二次方程的判别式符号-两根的大小关系$不等号的方向! * $ 5 $ - $ , "$即一看 !看二次项系数正负"$二算!求对应一元二次方程的根"$三写!利用对应二次函数的 图像写出对应不等式的解集" # 具体如下表所示$其中 ' * * $ * ! $ * # 是一元二次方程 '* # "(*"))* !称为标准形式"的两个实根$且 * ! - * # # 判别式 类 型 解 集 '* # "(*") * * '* # "(*") 5 * '* # "(*") - * '* # "(*") , * !* * * * + * - * ! 或 * * * # + * * + * , * ! 或 * 5 * # +* * + * ! - * - * # + * * + * ! , * , * # + ! * )* * * ) + ( #' $ * " + ! ! * ( * *)+ ( # + ' !- * ! ! ( ( ) 5 ) 第三章 !! 结合对应的二次函数图像的认识和记忆$在这个过程中$可能会含有参数$如二 次项系数中-判别式中-两根之中$需要分别讨论后写出解集 # 重难点 # ! 如何理解三个#二次$的关系" 提示 ! 在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中$要密切结合对应 的一元二次方程的根以及对应的二次函数的图像$这是'化归(思想的体现和运用 # 要 抓住二次函数的图像-一元二次方程的根-一元二次不等式的解集之间的关系 # 若 ' * * $一元二次不等式 '* # "(*") * * ! - * "与相应的二次函数 - )'* # "(*") $ 相应的一元二次方程 '* # "(*"))* 之间的关系如表所示# 判别式 ! )( # +%') !* * ! )* !- * 二次函数 - )'* # "(*") ! ' * * "的图像 一元二次方程 '* # "(*"))* ! ' * * "的根 有两相异实根 * ! $ * # ! * ! - * # " 有两相等实根 * ! )* # )+ ( #' 无实根 '* # "(*") * * ! ' * * "的解集 * * + * - * ! 或 * * * # * + * * ) + ( #' $ * " + ! ! '* # "(*") - * ! ' * * "的解集 * * + * ! - * - * # + ( ( !! 由上表可以得出 '* # "(*") * * 对一切 * " ! 都成立的条件为 ')()* $ ) * * * 或 ' * * $ !- * * & '* # "(*") - * 对一切 * " ! 都成立的条件为 ')()* $ ) - * * 或 ' - * $ !- * * # $