专题10 2次方的魅力-小学数学五年级趣味故事专题

2次方的魅力 相传古印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么？他说：“我只要在棋盘第一格放一粒米，第二格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒直到第64格放满为止。赏给我这么多麦粒，我就十分满足了。”国王觉得这个要求并不高，就欣然答应了。然而等到麦子成熟的季节，国王才发现，全印度的麦子竟然连棋盘的一半的格子都放不满。 那究竟整张棋盘能放下多少麦粒呢？我们可以化整为零，先研究前7个格子，寻找一下规律。根据故事里的要求，第一格放1粒麦粒，后面每一格都是前面的2倍，我们可以把每一格的麦粒数写出来，现在我们来算算这7个数的和吧。 1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＝127。现在看着几个数字相加算起来不算难，但是对于整张棋盘来说，数字会越来越复杂，这样加起来也会越来越难算。因此需要我们换一种打开方式。我们不妨先观察这一组数，2是1的2倍，4是2的2倍。后面每一个数都是前面的数的2倍。根据加法交换律和结合律，我们可以倒着相加。首先，64可以看作是边长是8的正方形的面积，把它从中间剪开，就会得到一个长8宽4的长方形，面积是32；再从中间剪开，得到一个面积是16的正方形。继续下去，依次得到面积是8、4、2、1的长方形或正方形。现在这7个数的和恰好等于红色图形的面积。而中间这条线两侧的红色图形，仅仅相差右下角的一个小正方形，面积是1。 现在来计算一下，红色部分的面积比两个64少1，所以和是64×2－1。如果再加下一格，也就是64的2倍，128个麦粒。计算它们的和列式就是128×2－1＝255（粒）麦子。目前来看，这么多麦子，国王还可以接受。 最后需要你有足够的耐心，先计算出第64格里要放下9223372036854775808粒麦子。（是不是吓着你了？第64格里居然有这么多麦子）那么再按照刚才的公式，需要铺满整个棋盘的麦粒将是9223372036854775808×2－1＝18446744073709551615粒麦子。 它可是一个二十位数，这是什么概念呢？如果每秒数一粒，一个人要想把它们都数完，需要大约6000亿年，所以，可以想象故事里的国王，是无论如何也给不起这么多的麦粒的。 再形象下：这些米堆起来比约8848米的珠穆朗玛峰还要高。2019年全球粮食产量是27.22亿吨。就单单第64格一格的粮食，相当于全球84年粮食产量的总和。这就是成倍增加的魅力所在。 【基础训练】 1 .老师打电