专题09 数学与艺术的结合——密铺-小学数学四年级趣味故事专题

密铺的奥秘 不知你是否仔细观察过自己家的地板、墙面，一般的瓷砖都是由几何图形构成的。只是，这里有的平面图形一辈子也不会出现在墙面、地板上；而有的图形却可以成为常客。 生活中处处有数学，如果给这种现象取一个合适的名字，它可以叫做“密铺”，又叫做平面图形的镶嵌。就是用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片。其实密铺已经具有悠久的历史： 1619年，数学家奇柏第一个利用正多边形铺嵌平面。 1891年，苏联物理学家费德洛夫发现了17种不同的铺嵌平面的对称图案。 1924年，数学家波利亚和尼格利重新发现了这个事实。 密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术家都在这方面进行过研究，最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔。他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿罕拉的建筑物有很深的印象（这是种13世纪的皇宫建筑物，其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺了种类繁多、美轮美奂的马赛克图案）。他用数日的时间复制了这些图案，并得到了启发，之后创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案。这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品，结合数学与艺术，给人留下深刻的印象，更让人对数学产生了另一种看法。 下面我们来说说密铺的奥秘。大家都知道圆心角是360°，对于正多边形，可以分为（n－2）个三角形，内角和就是（n－2）×180°；则一个内角的度数就是（n－2）×180°÷n；只要（n－2）×180°÷n的结果能整除360°，那么这个正多边形就可以密铺，反之则不能。正三角形每个内角是60°、正四边形每个内角是90°、正六边形每个内角是120°，60、90、120都可以整除360，因而是可以进行密铺的。而正五边形每个内角是108°，108不能整除360，所以是不可以的。我们国家的水立方的墙面就是用正六边形进行密铺的。 【基础训练】 1 .在一个三角形中，有一个角是钝角，另两个角分别是（   ）。 A．直角、锐角 B．钝角、锐角 C．锐角、锐角 【答案】C 【解析】 【分析】 已知三角形三个内角和为180°，如果有一个内角为钝角，那么另两个角的和只能是锐角，两个角的和为锐角，这两个角本身也为锐角，据此即可解答。 【详解】 钝角指的是大于90°的角，锐角指得是小于90°的角，因为三角形内角和为180°，减去一个钝角剩下的只能是锐角，那么这两