专题15 函数与方程-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题15函数与方程 【学习目标】 (1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点； (2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系； (3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法. 【考点梳理】 考点一：函数的零点 1.函数的零点 （1）一般地，如果函数 在实数 处的值等于零，即 ，则 叫做这个函数的零点. 【微点拨】： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数 的图象与 轴交点的横坐标； ③函数 的零点就是方程 的实数根． 归纳：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． （2）二次函数的零点 二次函数 的零点个数，方程 的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使 ，这个 也就是方程 的根. 【微点拨】： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数 在区间 上有 ， 在 内也可能有零点，例如 在 上， 在区间 上就是这样的．故 在 内有零点，不一定有 ． ③若函数 在区间 上的图象不是连续不断的曲线， 在 内也可能是有零点，例如函数 在 上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程 ，方程 无实根则函数无零点，方程 有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 的图象交点的横坐标． 考点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有 ； ②当k＜x1＜x2时，有 ； ③当x1＜k＜x2时， ； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有 ； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 ． 【微点拨】： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布． （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2． ① ； ② ； ③ ； ④x1=0，x2＞0 c=0，且 ；x1＜0，x2=0 c=0，且 ． 考点三：二分法 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数 定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ，零点位于区间 中. 第二步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算 和 ，并判断： ①如果 ，则 就是 的零点，计算终止； ②如果 ，则零点位于区间 中，令 ； ③如果 ，则零点位于区间 中，令 第三步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算 和 ，并判断： ①如果 ，则 就是 的零点，计算终止； ②如果 ，则零点位于区间 中，令 ； ③如果 ，则零点位于区间 中，令 ； …… 继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当 和 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 的近似零点，计算终止.这时函数 的近似零点满足给定的精确度. 【微点拨】： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② 、 的值比较容易计算且 ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程 的根，可以构造函数 ，函数 的零点即为方程 的根． 【经典例题】 类型一、求函数的零点 例1. 求下列函数的零点. (1) ； (2) ； （3） ．