5.1 任意角和弧度制-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第5章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 学习导航 1、 了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2、 了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合． 3、 了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系. 4、 理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 教学过程 一、任意角 1．角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示： 如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O. 3．角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 例题1 1．下列命题中正确的是（ ） A．终边和始边都相同的角一定相等 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．小于的角一定是锐角 D．大于或等于且小于的角一定是锐角 【答案】B 【分析】 根据任意角的定义判断． 【详解】 终边和始边都相同的角不一定相等，可以是终边相同角，故A错误；始边相同而终边不同的角一定不相等，B正确；小于的角包括锐角、零角和负角，故C错误；零角不是锐角，故D错误；只有B正确． 故选：B． 二、角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 3、 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 例题2 2．已知是锐角，那么是（ ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【分析】 由题知，故，进而得答案. 【详解】 因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角. 其中D选项不包括，故错误. 故选：C 4、 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 例题3 3．下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ） A．-56°与664° B．800°与-1360° C．150°与630° D．-150°与930° 【答案】C 【分析】 利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解. 【详解】 因终边相同的两个角总是相差的整数倍， 对于A，，即角-56°与664°终边相同，A不正确； 对于B，，即角800°与-1360°终边相同，B不正确； 对于C，，即角150°与630°终边不相同，C正确； 对于D，，即角-150°与930°终边相同，D不正确， 所以角150°与630°终边不相同. 故选：C 5、 度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 六、弧度数的计算 例题4 4．下列叙述中，正确的是（ ） A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角的和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 【答案】D 【分析】 根据弧度的定义即可判断. 【详解】 根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角. 故选：D． 1、 角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 例题5 5．化为弧度是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查的是角度向弧度的转化，只需要乘以即可. 【详解】 . 故选：A. 2、弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 例题6 6．已知扇形的弧长为2，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】 设扇形的圆心角弧度数为，半径为r，根据扇形的弧长为2，求得半径r,然后根据扇形面积是1，由求解. 【详解】 设扇形的圆心角弧度数为，半径为r， 因为扇形的弧长为2， 所以，