3.1 椭圆-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 学习导航 1、 理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程。 2、 掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程。 教学过程 一、椭圆及其标准方程 1、椭圆的定义： 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 2、椭圆的标准方程： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 例题1 1．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 试题分析：椭圆， ∴焦点坐标为：（ ，0），（-，0），c=， ∵椭圆的焦点与椭圆有相同焦点 设椭圆的方程为：=1， ∴椭圆的半焦距c=，即a2-b2=5 结合，解得：a2=15，b2=10 ∴椭圆的标准方程为 ，故选A． 二、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 例题2 2．椭圆的右焦点到直线的距离是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 根据椭圆的方程求得右焦点的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】 由题意，椭圆，可得，则， 所以椭圆的右焦点为， 则右焦点为到直线的距离为. 故选：C. 3、 椭圆的标准方程及性质的应用 1、直线与椭圆的位置关系： 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 例题3 3．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆的离心率为，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果. 【详解】 依题意椭圆：的离心率为得， 椭圆的长轴长与焦距之和为6，， 解得，，则， 所以椭圆的标准方程为：，故选D． 课时训练 1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意可知解得. 2．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　） A．（x≠0） B．（x≠0） C．（x≠0） D．（x≠0） 【答案】B 【分析】 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【详解】 解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12， ∵12＞8 ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4 ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选B． 3．已知椭圆（）的左焦点为，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C. 4．已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程. 【详解】 设，则 ，两式相减并化简得， 即, 由于且，由此可解得， 故椭圆的方程为. 故选：D. 5．曲线与曲线的 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】D 【分析】 首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项. 【详解】 首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲