第2章 章末复习与总结-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

一、逻辑推理 逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，逻辑推理在本章中主要体现在：(1)利用不等式的性质推得结论；(2)利用基本不等式推出有关结论． 题型一　不等式的性质及应用 (1)如果a<b<0，那么下列各式一定成立的是(　　) A．a－b>0 B．ac2<bc2 C．a2>b2 D．< (2)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．<b B．a2>b2 C． D．a|c|>b|c|> 解析：　(1)因为a<b<0，所以a－b<0，a＋b<0，，所以(a－b)·(a＋b)＝a2－b2>0，即a2>b2，故C项正确，A，D两项不正确．当c＝0时，ac2＝bc2，故B项不一定正确．故选C.> (2)取a＝1，b＝－1，排除选项A；取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D；显然，成立．故选C.>0，对不等式a>b的两边同时乘 答案：　(1)C　(2)C 题型二　不等式的证明 已知a，b都是正数，且a＋b＝1，求证： ≥9. 证明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴＝ ＝＝9.≥5＋4＝5＋2 当且仅当时取“＝”．，即a＝b＝＝ ∴≥9. 二、数学运算 数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．本章中数学运算主要体现在解不等式、求最值等． 题型三　解不等式 解下列关于x的不等式(组)： (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (2)－1<x2＋2x－1≤2； (3)x2－x＋1≤0(a>0). 解析：　(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0， 故原不等式的解集为. (2)原不等式组等价于 即 由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1. 所以原不等式组的解集为{x|－3≤x<－2或0<x≤1}． (3)x2－(x－a)≤0.x＋1≤0⇔ ①当0<a<1时，a<；，不等式的解集为 ②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}； ③当a>1时，a>.，不等式的解集为 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； 当a>1时，不等式的解集为. 题型四　利用基本不等式求最值 (1)若x∈{x|x>1}，则y＝3x＋的最小值是________． (2)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________． 解析：　(1)∵x>1，∴x－1>0，因此y＝3x＋.的最小值是3＋2＋1时取等号，因此y＝3x＋，即x＝，当且仅当3(x－1)＝＋3＝3＋2＋3≥2＝3(x－1)＋ (2)x>0，y>0，且x＋3y＝1，＋4.的最小值是2时取等号．故＝，x＝＝y，x＋3y＝1，即y＝＋4.当且仅当x＝＋4＝2＋4≥＝＝＝ 答案：　(1)3＋2＋4　(2)2 三、数学建模 数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．本章中数学建模主要体现在利用基本不等式及一元二次不等式解决实际问题． 题型五　构建一元二次不等式模型解决实际问题 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，则x的取值范围为________． 解析：　根据题意，有100≥1 500， 即5x2－14x－3≥0， 得x≥3或x≤－， 又1≤x≤10， 所以3≤x≤10. 答案：　3≤x≤10 题型六　构建基本不等式模型解决实际问题 (2020·广东广州荔枝湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2，绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为(　　) A．20 m B．50 m C．10 m D．100 m B　[设BC＝x m，则CD＝ m， 所以S矩形A1B1C1D1＝(x＋10) ＝1 040＋4x＋＝1 440，≥1 040＋2 当且仅当4x＝，即x＝50时，等号成立， 所以当BC＝50 m时，整个项目占地面积最小．故选B.] $