第1章 章末复习与总结-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

一、数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养．在本章中，主要表现在理解集合，全称量词命题及存在量词命题的概念． 题型一　集合的概念 (1)(2021·宜春市质量检测)设集合A{(x，y)||x|＋|y|≤1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．3　　　　　 B．4 C．5 D．6 (2)已知集合M＝{a，|a|，a－2}．若2∈M，则实数a的值为(　　) A．－2 B．±2 C．2或4 D．±2或4 解析：　(1)因为x∈Z，所以当x＝0时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0，±1； 当x＝1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x＝－1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x∈Z，|x|>1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可知：不存在整数y使该不等式成立， 所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)}， 因此A中元素的个数为5. 故选C. (2)由2∈M得a＝2或|a|＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A. 答案：　(1)C　(2)A 题型二　全称量词命题与存在量词命题 (1)(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 解析：　(1)A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD. (2)命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)， ∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1 ∴实数m的取值范围是{m|m>1}． 故选B. 答案：　(1)ABD　(2)B 二、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中． 题型三　集合的运算 (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{－2，3} B．{－2，2，3} C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3} (2)已知全集U＝R，A＝{x|－1<x<1}，B＝{y|y>0}，则A∩(∁UB)等于(　　) A．(－1，0) B．(－1，0] C．(0，1) D．[0，1) 解析：　(1)因为A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A. (2)因为B＝{y|y>0}， 又由全集U＝R， 所以∁UB＝{y|y≤0}， 则A∩(∁UB)＝{x|－1<x≤0}＝(－1，0]. 故选B. 答案：　(1)A　(2)B 三、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件判断及应用． 题型四　集合间的关系 (1)集合M＝的非空子集个数是(　　) A．3　 B．7 C．15　 D．31 (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________． 解析：　(1)∵M＝，∴y＝1，2，4，8，对应的x＝7，3，1，0，即满足条件的y有4种情况，故M＝{1，2，4，8}，∴M的非空子集个数是24－1＝15，故选C. (2)因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅. 画数轴如图所示， 由B⊆A知，a＋1<－1，或2a≥1. 即a<－2，或a≥. 由已知a<1，所以a<－2，或≤a<1， 即所求a的取值范围是a<－2或≤a<1. 答案：　(1)C　(2)a<－2或≤a<1 题型五　充分条件与必要条件判定 设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[因为M∪P＝{x|x>1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.] 题型六　充分条件与必要条件的探求及应用 已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|－1<x<m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． 解析：　(1)由题意可解A