2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 探究点一　分式不等式的解法 解下列不等式：(1)>4.≥0；(2) 解析：　(1)不等式≥0等价于 解不等式组得－1≤x<3. 故原不等式的解集为{x|－1≤x<3}． (2)不等式－4>0.>4等价于 即>0， 整理得>0. 即 解不等式得x<－1或x>3. 故原不等式的解集为 {x|x<－1或x>3}． 简单分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　 [对点训练] 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x<0或x≥1} B　[原不等式可化为故其解集为{x|0<x≤1}，故选B.]解得 2．不等式≥0的解集是{x|－1≤x<5}，则a的值为________． 解析：　由于原不等式等价于 因此结合不等式解集知a＝5. 答案：　5 探究点二　一元二次不等式的实际应用(应用型) 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解析：　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 解不等式组，得0<x<， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为. 解不等式应用题的步骤 　　 [对点训练] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x(x≥0)成(1成＝10%)，则售出商品的数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的销售额为y元，试求y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的销售额至少为10 260元，求x的取值范围． 解析：　(1)若售价降低x成，则降价后商品的售价为100－80≥0，解得x≤2，又x≥0，所以y＝20(10－x)(50＋8x)，x∈[0，2]..因为售价不能低于成本价，所以100·100件，由题意，得y与x之间的函数关系式为y＝100元，此时售出商品100 (2)由题意，得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得.，又x∈[0，2]，所以x的取值范围是≤x≤ 探究点三　二次不等式恒成立问题 若对于x∈R，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求实数m的取值范围． 解析：　要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0恒成立．若m≠0，则解得－4<m<0.综上可知，m的取值范围是－4<m≤0. 一元二次不等式在R上恒成立问题的解法 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔　　 [对点训练] 若对∀x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围． 解析：　原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0， ∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0， ∴0<m<4， ∴m的取值范围为{m|0<m<4}． 1．不等式≥0的解集为(　　) A． B． C． D． C　[原不等式化为 解得x≥1或x<－.] 2．若关于x的不等式：x2＋2x＋a＋2>0的解集为R，则实数a的取值范围为________． 解析：　∵不等式的解集为R，∴Δ＝4－4(a＋2)<0，即a>－1. 答案：　a>－1 3．为了支援武汉抗击新冠病毒肺炎疫情，中国用了10天时间建成了拥有1 000个床位的火神山医院，再次诠释了“中国速度”，全世界瞩目，某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解析：　设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m， 宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600. 整理得x2－700x＋60 000≥0，