2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 课程标准 学业水平要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 水平一 1.能从教材实例中抽象出一元二次不等式的概念．(数学抽象) 2.能从一元二次函数观点得到一元二次不等式的求解方法，会求简单的一元二次不等式的解集．(数学抽象、逻辑推理) 水平二 1.掌握一元二次不等式的解法，会解分式不等式，能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学运算) 2.理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理) 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 [点拨]　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数). (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [点拨]　三个“二次”关系的实质可结合数形结合的思想进行解读：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c图象上的点(x，0)；ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合；ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＋2<0是一元二次不等式．(　　) (2)5x2－mx＋2<0是一元二次不等式．(　　) (3)不等式(x－1)(x－2)>0的解集为(1，2).(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 2．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　) A． B．{x|x>1} C．{x|x<1或x>2} D． D 3．下列不等式中是一元二次不等式的是(　　) A．a2x2＋2≥0 B．<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 C　[选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．] 4．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________． 答案：　{x|x<0或x>2}　{x|0<x<2} 探究点一　不含参数的一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. 解析：　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，，x2＝ 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 　　 [对点训练] 解下列不等式： (1)3x2＋2x>2－3x； (2)9x2－6x＋1>0； (3)－2x2＋x＋1<0； (4)x2－4x＋5<0. 解析：　(1)原不等式移项整理，得3x2＋5x－2>0. 图(1) 因为Δ＝49>0，方程3x2＋5x－2＝0有两个实数解，即x1＝－2，x2＝. 然后，画出函数y＝3x2＋5x－2的图象如图(1)，由图象得不等式的解集为. 图(2) (2)因为Δ＝0，方程9x2－6x＋1＝0有两个相等实数根，即x1＝x2＝..函数y＝9x2－6x＋1的图象是开口向上的