2.2 第2课时 基本不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

第2课时　基本不等式的应用 探究点一　配凑法求最值 (1)已知x>0，求2－x－的最大值． (2)已知x<的最大值．，试求4x－2＋ 解析：　(1)因为x>0，所以x＋≥4， 所以2－x－≤2－4＝－2，＝2－ 所以当且仅当x＝(x>0)， 即x＝2时，2－x－的最大值是－2. (2)因为x<，所以4x－5<0，5－4x>0. 所以4x－5＋3＋＋3＝1.＋3≤－2＝－ 当且仅当5－4x＝时等号成立，又5－4x>0， 所以5－4x＝1，x＝1. 所以当x＝1时，4x－2＋的最大值是1. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 [对点训练] 1．求函数y＝x(0<x<1)的最大值． 解析：　由0<x<1，可得y＝x.时，等号成立，此时ymax＝，当且仅当x2＝1－x2，即x＝＝≤＝ 2．若对任意x>0，求y＝的最大值． 解析：　因为x>0，所以x＋.的最大值为，即y＝＝≤＝≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有y＝ 探究点二　常量代换法求最值(乘“1”法) 若x>0，y>0，且x＋4y＝1，求的最小值．＋ 解析：　因为x>0，y>0，x＋4y＝1， 所以＝9，≥5＋2＋＝5＋＋＝＋ 当且仅当时取等号，因此所求的最小值为9.，y＝，即x＝＝ “常量代换法”常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两种类型．＋的最小值”和“已知＋ 基本步骤为： (1)将已知条件变形为“表达式＝常数”的形式； (2)把常数变形为1； (3)把等于1的表达式与要求最值的表达式相乘(除)，进而变形为“定积的和”或“定和的积”的形式； (4)利用基本不等式求最值．　　 [对点训练] (2020·辽宁省沈阳市期末)已知实数x，y满足x>0，y>0，且＝1，求x＋2y的最小值．＋ 解析：　∵x>0，y>0，且＝1，＋ ∵x＋2y＝(x＋2y)＝8，≥4＋2 ＋＝4＋ 当且仅当＝1，即x＝4，y＝2时等号成立．＋，＝ 即x＋2y的最小值为8. 探究点三　基本不等式的实际应用(应用型) 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时． (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 解析：　(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时， 则y＝0.5x2·(0<x≤50).＝150＋800· (2)由(1)得y＝150＝12 000，≥300 当且仅当x＝，即x＝40时取等号． 故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少． 应用基本不等式解决实际问题的方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案．　　 [对点训练] 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 解析：　设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼的面积为S，则S＝xy. 方法一：由于2x＋3y≥2故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大．解得，由，当且仅当2x＝3y时，等号成立．即Smax＝≤18，得xy≤，所以2＝2 方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大．＝y(6－y).因为0<y<6，所以6－y>0，S≤＝y.因为x>0，所以0<y<6，S＝xy＝y 1．已知函数y＝x＋(x>1)，则函数的最小值等于(　　) A．4＋1 B．4 C．5 D．9 C　[因为x>1，所以y＝x＋＋1＝5.＋1≥2＝(x－1)＋ 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．故选C.] 2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B．