2.2 第1课时 基本不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

2．2　基本不等式 课程标准 学业水平要求 1.掌握基本不等式 (a>0，b>0).≤ 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 水平一 1.能利用重要不等式抽象出基本不等式．(数学抽象) 2.结合具体几何图形理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(逻辑推理) 3.结合教材案例会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．(逻辑推理、数学运算) 水平二 掌握基本不等式，学会灵活变换条件使用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算) 第1课时　基本不等式 知识点一　基本不等式 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 证明：(a－b)2≥0⇔a2＋b2－2ab≥0⇔a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 如果a>0，b>0，有，当且仅当a＝b时，等号成立．≤ 其中，叫作正数a，b的几何平均数．叫作正数a，b的算术平均数， 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [点拨]　1.基本不等式.≤－的条件是a，b都是正数，取等号的条件是a＝b，当a<0，b<0时，则有≥ 2．基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2； (2)ab≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立).≤ 知识点二　基本不等式与最值 已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． [点拨]　(1)简记：和定积最大，积定和最小． (2)利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正． ②二定：各项之和或各项之积为定值． ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　) (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤恒成立．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)× 2．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　 B．a2＋b2≥4ab C．≥2 D．x2＋≥ D 3．若x>0，则y＝＋x的最小值为________． 答案：　4 4．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________． 解析：　因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤.时，x(1－x)取得最大值时“＝”成立，即当x＝，当且仅当x＝1－x，即x＝＝＝ 答案：　　 探究点一　对基本不等式的理解 判断下列两个推导过程是否正确： (1)∵a∈R，a≠0，∴＝4；＋a≥2 (2)∵x，y∈R，xy<0， ∴＝－2.≤－2 ＝－＋ 解析：　(1)由于a∈R，a≠0，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的． (2)由xy<0，知后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确．，－均为负数，在推导过程中，将其转变为正数－， 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.　　 [对点训练] 下列结论正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，≥2＋ C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，x－无最大值 B　[对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”； 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2； 对于选项D，x－.]＝在0<x≤2的范围内单调递增，有最大值2－ 探究点二　直接应用基本不等式求最值 (1)已知t>0，求y＝的最小值； (2)y＝x(6－2x)(0<x<3). 解析：　(1)依题意得，y＝t＋－4＝－2，－4≥2 等号成立时t＝1， 即函数y＝(t>0)的最小值是－2. (2)因为0<x<3， 所以x>0，3－x>0， 所以y＝，当且仅当x＝3－x＝x(6－2x)＝x(3－x)≤ 即x＝时取等号． 所以y＝.x(6－2x)(0<x<3)有最大值 利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件． (2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法解题．　　 [对点训练] 1．已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 C　[∵x>0，y>0，x＋y