2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

第2课时　等式性质与不等式性质 [微梳理] 知识点一　等式的性质 性质1 如果a＝b，那么b＝a 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝ [点拨]　性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性． 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇔a>c 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N，n≥2) 同正 [点拨]　对不等式性质的六点说明 (1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识． (2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据． (3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． (6)性质1和性质3是双向推导，其他是“单向”推导． [微练习] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＝b，则.(　　)＝ (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(　　) (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知a≥b，可以推出(　　) A． B．ac2≥bc2≥ C． D．(ac)2≥(bc)2> 答案：　B 3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案：　C 4．若a>b>0，n>0，则.(填“>”“<”或“＝”)________ 答案：　< 探究点一　利用不等式的性质判断命题的真假 若<0，有下面四个不等式：< ①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　[由<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.]< 利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说明错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　 [对点训练] 1．(2020·北京人大附中期中)已知a<0<b，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋b<0 B．<1 C．>>1 D． B　[因为a<0<b，所以<1.故选B.]<0，所以 2．(2020·广东东莞期末)已知实数a，b，c满足0<a<b，0<c<1，则下列选项一定成立的是(　　) A．a＋c>b＋c B．ac>bc C．ac<b D．bc<a C　[因为0<a<b，0<c，所以ac<bc，又因为0<c<1，所以bc<b，所以ac<b.故选C.] 探究点二　利用不等式的性质证明不等式 若a>b>0，c<d<0，e<0，求证.> 解析：　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0， ∴0<.< 又e<0，∴.> 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． [对点训练] 1．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. 解析：　因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc. 又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc. 2．若bc－ad≥0，bd>0，求证：.≤ 解析：　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad. ∴bc＋bd