1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 学业水平要求 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 水平一 能从教材实例中归纳总结出含有一个量词的全称量词命题、存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律．(逻辑推理) 水平二 能利用命题与它的否定只能一真一假解答简单的问题．(逻辑推理) 知识点　全称量词命题和存在量词命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [点拨]　(1)写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． (2)全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)× 2．命题“∃x>0，x＋≥3”的否定是(　　) A．∃x>0，x＋<3≤3 B．∃x>0，x＋ C．∀x>0，x＋≤3<3 D．∀x>0，x＋ C 3．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0 C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 D．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D 4．命题“∃x∈R，x2＋2x＋1＝0”的否定是________命题(填“真”或“假”) 答案：　假 探究点一　全称量词命题的否定与真假判断 写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定命题的真假． (1)p：∀x∈R，x2≥－1； (2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}，<x； (3)s：一切分数都是有理数； (4)t：对任意实数m，点(m，m)都在一次函数y＝x的图象上． 解析：　(1)¬p：∃x∈R，x2<－1，由p是真命题可知¬p是假命题． (2)¬q：∃x∈{1，2，3，4，5}，≥x.将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此¬q是真命题． (3)¬s：存在一个分数不是有理数．由于所有分数都是有理数，因此原命题正确，故¬s是假命题． (4)¬t：存在一个实数m0，点(m0，m0)不在一次函数y＝x图象上，由于在y＝x图象上点的横、纵坐标相等． 故¬t是假命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．　　 [对点训练] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假． (1)所有矩形的对角线相等； (2)不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根； (3)等圆的面积相等，周长相等． 解析：　(1)该命题的否定：有的矩形对角线不相等．假命题． (2)该命题的否定：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，方程没有实数根，故为真命题． (3)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．假命题． 探究点二　存在量词命题的否定与真假判断 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； (2)q：至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)s：有些三角形是锐角三角形． 解析：　(1)¬p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以¬p是假命题． (2)¬q：所有直角三角形都是等腰三角形，因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬q是假命题． (3)¬s：所有三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形)，假命题． 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．　　 [对点训练] 1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|