1.5.1 全称量词与存在量词-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

1.5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 课程标准 学业水平要求 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 水平一 1.能从教材实例中抽象出全称量词、存在量词的含义．(数学抽象) 2.理解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示．(数学抽象) 水平二 能判定全称量词命题和存在量词命题的真假．(逻辑推理) 知识点　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” [点拨]　1.常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 2．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”；一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”． 3．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来；含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　) (3)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)√ 2．下列命题是存在量词命题的是(　　) A．任意给定实数x，x2≥0 B．存在有理数x，使得3x－2＝0 C．每一个有理数都能写成分数的形式 D．所有的自然数都大于或等于零 B 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在实数x，平方为8 C．所有菱形的四条边都相等 D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0 C 4．将命题“x2＋y2≥2xy”改成全称量词命题为________． 答案：　对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 探究点一　全称量词命题与存在量词命题的判断 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解析：　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃x∈{平行四边形}，但x的对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [提醒]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．　　 [对点训练] 下列命题中，是全称量词命题的为________；是存在量词命题的为________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数； ⑤存在一对实数x，y，使2x＋3y＋3>0成立． 解析：　①中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；②的含义是“任何有两个角是45°的三角形均是等腰直角三角形”，隐含全称量词，是全称量词命题；③中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；④中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；⑤中含有存在量词，是存在量词命题． 答案：　①②③ ④⑤ 探究点二　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)有的集合中存在两个相同的元素． (2)∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (3)存在一个x∈R，使＝0. (4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B. 解析：　(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题． (2)是全称量词命题，∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题． (3)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B，是真