1.4.2 充要条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

1.4.2　充要条件 课程标准 学业水平要求 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 水平一 1.能从教材实例中抽象出充要条件的意义．(数学抽象) 2.能进行充要条件的判断．(逻辑推理) 水平二 1.从集合观点理解充分条件、必要条件．(直观想象) 2.能利用充分条件、必要条件求参数的取值范围．(逻辑推理) 3.会探求或证明命题的充要条件．(逻辑推理) 知识点　充要条件 1．定义 命题真假 “若p，则q”和它的逆命题都是真命题 推出关系 既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件 名称 p是q的充分必要条件，简称为充要条件 2．本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　　) (3)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√ 2．“x＝0”是“x2＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 D 3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 B 4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则A⊆B的充要条件是________． 答案：　2或3 探究点一　充要条件的判断 判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3. (2)p：△ABC中，AB>AC，q：△ABC中，∠C>∠B. (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B； (4)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． 解析：　(1)因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|， 所以p是q的必要不充分条件． (2)由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件． (4)若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全等，故p是q的充分不必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．　　 [对点训练] 1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[A，B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A∩B＝A”，所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.] 2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解析：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示． (1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件． (2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件． (3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件． 探究点二　充要条件的证明 证明：如图梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. 证明：　(1)必要性． 在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB， 又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD. (2)充分性． 如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. ∵AD∥BE，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE＝AC. ∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1. 又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2. 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形ABCD为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，