1.4.1 充分条件与必要条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（人教A版）

1.4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 课程标准 学业水平要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 水平一 1.能从教材实例中抽象出充分条件、必要条件的意义．(数学抽象) 2.能进行有关充分条件、必要条件的判断．(逻辑推理) 3.能从教材实例中抽象出判定定理与充分条件的关系．(数学抽象) 4.能从教材实例中抽象出性质定理与必要条件的关系．(数学抽象) 水平二 能用举反例的方法判断一个命题是假命题．(逻辑推理) 知识点　充分条件与必要条件 (1)定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒/ q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 (2)本质：当命题p⇒q是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓． [点拨]　1.p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的． 2．q是p的必要条件或p的必要条件是q. 显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．(　　) (2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．(　　) (3)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (4)若q不是p的必要条件，则“p⇒/ q”成立．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知命题p：x>1；q：x>2，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分又不必要条件 D．以上答案均不正确 B 3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 A 4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”) 答案：　充分 探究点一　充分条件的判断 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则<1； (3)若x>1，则x2>1； (4)在(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解析：　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，<1，>1；当b>0时， 因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．　　 [对点训练] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若x2＝y2，则x＝y； (2)若内错角相等，则两直线平行； (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； (4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0. 解析：　(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y， 因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 所以a的个位数字为偶数； 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 探究点二　必要条件的判断 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若，则x＝y；＝ (4)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0. 解析：　(1)等腰梯形的两条