1.4.2 一元二次不等式及其解法-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

4.2　一元二次不等式及其解法 新课程标准 学业水平要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 水平一 1.能从教材实例中抽象出一元二次不等式的概念．(数学抽象) 2．能从一元二次函数观点得到一元二次不等式的求解方法，会求简单的一元二次不等式的解集．(数学抽象、逻辑推理) 水平二 1.掌握一元二次不等式的解法．(逻辑推理、数学运算) 2．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理) 知识点一　一元二次不等式的概念 1．定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式． 2．一般表达式：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中a，b，c均为常数，且a≠0). 3．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． [点拨]　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)； (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 知识点二　一元二次不等式的求解方法 　y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系： y＝ax2＋bx＋c(a>0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝(x1<x2) x1＝x2＝－ 无实数根 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|x<x1或x>x2} R 不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1<x<x2} [点拨]　从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围； (2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案：　②④ 2．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________． 答案：　{x|x<0，或x>2}　{x|0<x<2} 3．不等式3x2－2x＋1>0的解集是________． 解析：　因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 答案：　R 探究点一　不含参数的一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. 解析：　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，，x2＝ 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 . (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实数根， ∴原不等式的解集为. 解不含参数的一元二次不等式的方法 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得． 方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　　 [对点训练] 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1} B． C． D． D　[不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2