1.4.1 一元二次函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 新课程标准 学业水平要求 握一元二次函数的背景、概念和性质 水平一 1.会画一元二次函数的图象，能进行图象的平移变换．(直观想象) 2．能用配方法求一元二次函数的图象的对称轴．(数学运算、直观想象) 水平二 1.会求一元二次函数的最大值和最小值．(数学运算) 2．能论述一元二次函数函数值的变化趋势．(逻辑推理) 知识点一　一元二次函数的图象变换 1．抛物线 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． [点拨]　一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”． 知识点二　一元二次函数的性质 　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质： (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h. (2)当a>0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k． 当a<0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k． [点拨]　y＝ax2＋bx＋c＝a(a≠0).＋ 所以h＝－.，k＝ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．(　　) (2)函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(　　) (3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上y随x的增大而增大．(　　) (4)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　) A．{－3} B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞) C　[由y在(－∞，7]上递减，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.] 3．函数y＝x2－1的最小值是________． 解析：　y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1. 答案：　－1 4．函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到． 解析：　y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，y＝x2＋x＝个单位长度即可得到y＝x2＋2x＋3的图象．个单位长度，再向上平移，将y＝x2＋x的图象向左平移－ 答案：　　 探究点一　一元二次函数图象间的变换 在同一坐标系中作出下列函数的图象． (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x. 并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． 解析：　列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示． 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象． 法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示： 　　 [对点训练] 　画出函数y＝x2平移得到的．x2－6x＋21的图象，并说明它是如何由y＝ 解析：　∵y＝(x－6)2＋3.x2－6x＋21＝ ∴抛物线的顶