1.2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 新课程标准 学业水平要求 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 水平一 1.能从教材实例中抽象出全称量词、存在量词的含义．(数学抽象) 2．理解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示．(数学抽象) 水平二 能判定全称量词命题和存在量词命题的真假．(逻辑推理) 知识点一　全称量词命题与全称量词 1．全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题． 2．全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． [点拨]　(1)全称量词命题表示的数量可能是无限的，也可能是有限的，由题目而定． (2)一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”． (3)有时全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．如：“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”． 知识点二　存在量词命题与存在量词 1．存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题． 2．存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． [点拨]　(1)含有存在量词的命题，不管包含的程度多大，都是存在量词命题． (2)一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，(a＋b)2＝(a－b)2”． (3)有些命题中虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．(　　) (2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．(　　) (3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．(　　) (4)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．(　　) (5)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题.(　　) (6)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．下列命题是全称量词命题的是________(填序号). ①每个四边形的内角和都是360°　②任何实数都有算术平方根　③∀x∈Z，有2x＋1是整数　④存在一个x∈R，使2x＋1＝3 答案：　①②③ 3．下列语句是存在量词命题的是________(填序号). ①任意三条线段都能构成三角形　②存在整数n，使n能被11整除　③若3x－7＝0，则x＝　④有些函数为奇函数 答案：　②④ 4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________． 解析：　命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意的x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：　对任意的x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)有一个实数x，x不能取倒数； (2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (3)圆内接四边形，其对角互补； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 解析：　(1)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题． (2)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． (3)可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题． (4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． 全称量词命题或存在量词命题的判断 [注意]　全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．　　 [对点训练] 　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)对任意的n∈Z，2n＋1是奇数； (2)有些三角形不是等腰三角形； (3)有的实数是无限不循环小数； (4)所有的正方形都是矩形． 解析：　(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题． (2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． (3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题． (4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． 判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 解析：　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1)全