13.1 第2课时 线段的垂直平分线的性质--2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

13.1 轴对称 第2课时 线段的垂直平分线的性质 知识要点 1.线段垂直平分线的定义 定义：过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。 2. 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言描述 ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(或点P在线段AB的垂直平分线上), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 3.线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) 4.轴对称的性质：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 5.到三角形三个顶点距离相等的点，在三角形三边垂直平分线的交点上 到三角形内部三边距离相等的点，在三角形三个内角的角平分线的交点上。 6. 三角形，三边的垂直平分线的交点的位置 （1）锐角三角形，交点在三角形的内部 （2）直角三角形，交点在直角三角形斜边中点 （3）钝角三角形，交点在三角形的外部 例题精讲 知识点1：线段垂直平分线的作图 【例1】用尺规作线段的垂直平分线. 已知:线段AB,（如图）.求作:线段AB 的垂直平分线. 【解析】解：作法： （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧， 两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，所以直线CD就是所求作的垂直平分线． 提示：因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点, 所以我们也用这种方法作线段的中点. 【例2】如图，求作一点M，使MC＝MD，且使M到∠AOB两边的距离相等．（保留作图痕迹） 【分析】分别作出线段CD的垂直平分线以及作出∠AOB的角平分线，进而得出交点． 【解析】解：如图所示：点M即为所求． 点评：此题主要考查了复杂作图，正确掌握线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质是解题关键． 【例3】两个城镇A、B与两条公路l1，l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，但要保留作图痕迹） 【分析】仔细分析题意，寻求问题的解决方案． 到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． 由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个． 【解析】解：（1）作出线段AB的垂直平分线； （2）作出角的平分线； 它们的交点即为所求作的点C（2个）． 如图所示，点C1、C2即为所求。 点评：本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解． 【举一反三】 1.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A、在AC，BC两边高线的交点处 B、在AC，BC两边中线的交点处 C、在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D、在∠A，∠B两内角平分线的交点处 【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 点评：本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到． 2.两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【分析】（1）作AB的垂直平分线，∠FME的角平分线，交点为C； 【解析】解：如图 点C即为所求。 知识点2：线段垂直平分线产生等腰三角形，相等的角 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端