第三章 第二节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值（课件PPT）-2022高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（新高考版 江苏 湖北 湖南 重庆专用）

第三章　一元函数的导数及其应用 第二节　导数的简单应用 第二课时　利用导数研究函数的极值、最值 CONTENT 目录 01 核心考点 突破 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） 01 核心考点 突破 考查点1 利用导数研究函数的极值(多维探究) 考向1　根据函数图象判断函数极值 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D　[由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．] 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） 考向2　求已知函数的极值 已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ eq \f(a,x) . (1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－ eq \f(2,x) (x>0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） (2)由f′(x)＝1－ eq \f(a,x) ＝ eq \f(x－a,x) (x>0)可知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值． ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a 处取得极小值a－a ln a，无极大值． 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） [训练1] 已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－ eq \f(x,e) (e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为(　　) A．2e－1　　　　　　　 B．－ eq \f(1,e) C．1 D．2ln 2 D　[由题意知，f′(x)＝ eq \f(2ef′（e）,x) － eq \f(1,e) (x>0)，令x＝e得，f′(e)＝2f′(e)－ eq \f(1,e) ，∴f′(e)＝ eq \f(1,e) ，∴f′(x)＝ eq \f(2,x) － eq \f(1,e) ＝ eq \f(2e－x,ex) . 令f′(x)＝0，得x＝2e. 当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0；当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减．∴f(x)在x＝2e处取极大值f(2e)＝2ln (2e)－2＝2ln 2.] 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） [训练2] 已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数． 解　f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝a－ eq \f(1,x) ＝ eq \f(ax－1,x) ， 当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x)在(0，＋∞)上没有极值点； 当a>0时，由f′(x)<0得0<x< eq \f(1,a) ，由f′(x)>0，得x> eq \f(1,a) ， ∴f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a))) 上单调递减，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞)) 上单调递增，即f(x)在x＝ eq \f(1,a) 处有极小值，无极大值．所以，f(x)在(0，＋∞)有一个极值点． 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 第1轮　数学（理科） 综上，当a≤