专题09基本初等函数第五缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题09基本初等函数第五缉 1．【2016年江苏预赛】已知a、b为实数．若二次函数满足，且，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 易知，均为方程的根． 则， ． 2．【2016年江苏预赛】已知函数在区间内的值恒正．则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 解:因为函数）在上恒正，则说明不等式恒成立，则对于底数a分情况讨论，a>1,0<a<1，分别讨论单调性得到最值，求解参数的范围。 3．【2016年湖北预赛】已知函数满足(1)=2，且 对定义域内任意的x均成立．则f(2016)= _________. 【答案】 【解析】 由，易得 . 故是以4为周期的周期函数. 由 4．【2016年甘肃预赛】已知上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点个数为__________． 【答案】7. 【解析】分析：根据条件求出函数 在上的零点个数，再利用函数的周期为2求出 上的零点。 详解：当时，，令舍去），因为函数的周期为2，所以当时，函数的零点为2,3，当，函数的零点为4,5，当，所以6是零点。故在区间上的零点有0,1,2,3,4,5,6.共7个。 点睛：本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程的关系，结合函数的周期性是解题的关键。 5．【2016年甘肃预赛】已知a、b为方程的两个根.则__________. 【答案】 【解析】 原方程变形为 . 令. 则或-3或-3. 于是，方程的两根分别为. 故. 6．【2016年北京预赛】设为2014次的多项式，使得.则__________. 【答案】 【解析】 构造函数. 则. 故，其中，中的系数为待定常数. 由为2014次的多项式，得 的常数项必为0. 故. 因此. 7．【2016高中数学联赛（第01试）】正实数均不等于1，若，则的值为 . 【答案】 【解析】令，则， 条件化为，由此可得. 因此. 8．【2015年全国】设为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4 【解析】 由已知条件及二次函数图像的轴对称性得 . 故答案为：4 9．【2015年浙江预赛】已知函数满足，且.则______. 【答案】 【解析】 注意到， . 故. 10．【2015年浙江预赛】设函数，其中，表示中的最小者.若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，有，此时，； 当时，，此时，. 11．【2015年上海预赛】对整数，记.则_________. 【答案】54 【解析】 注意到，. 于是，. 故. 12．【2015年上海预赛】若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ______. 【答案】 【解析】 由已知得的图像恰有三个交点，考虑极端情形，相切，知. 13．【2015年新疆预赛】设P为函数的图像上任意一点，过点P分别向x轴、y轴引垂线，垂足分别为A、B.则的最小值为________. 【答案】4 【解析】 设.依题意知 ，其中，. 故， 当且仅当时，上式等号成立. 因为，所以，时上述不等式取等号. 因此，当且仅当时，有最小值4. 14．【2015年新疆预赛】设，且.则 ________. 【答案】17 【解析】 注意到，对任意的x，有. 故. 15．【2015年四川预赛】若，则_________。 【答案】0 【解析】 设. 则 . 16．【2015年安徽预赛】函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 当时，单调递减. 当时，，此时，亦单调递减. 当时，. 令. 因此，处取得最小值. 17．【2015年安徽预赛】设是定义域为的具有周期的奇函数，且.则在区间中至少有______个零点. 【答案】11 【解析】 由题设知. 令，得. 另一方面， . 类似地，. 因此，在区间中的零点一定包含 0、、3、、4、. 容易构造使得恰有这11个零点. 18．【2015年北京预赛】已知函数定义如下：，则集合中元素的个数为_________. 【答案】8 【解析】 一方面，当时，计算得且可验证. 另一方面，当时，，且 则，不成立. 因此，，共8个元素. 19．【2015年陕西预赛】已知函数______. 【答案】1 【解析】 因为对任意，均有，所以，. 20．【2015年山西预赛】函数的值域为________. 【答案】 【解析】 由条件知. 令.则 ， ， ， 因为，所以，. 21．【2015年山东预赛】设函数的最大值为，最小值为，则=___________ . 【答案】2 【解析】，令，则为奇函数， 所以的最大值和最小值和为0，又. 有，即. 答案为：2. 22．【2015年