专题08基本初等函数第四缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题08基本初等函数第四缉 1．【2017年福建预赛】函数的最大值为 . 【答案】11 【解析】由柯西不等式可知：. 当且仅当,即时等号成立. 所以的最大值为11. 2．【2017年江西预赛】函数的最小值是 . 【答案】 【解析】提示：首先又由,即 根据判别式,即, 因,则,此值在时取到. 3．【2017年河南预赛】方程的最小的解为 .(其中,表示不超过的最大整数). 【答案】 【解析】提示:设为整数,). 将代入原方程得 对于每个不同的确定了唯一的有序数对,从而也互不相同. 又 当且仅当时,.此时. 故最小的解为. 4．【2017年湖北预赛】设函数,其中为互不相同的非零整数,且,则 . 【答案】18 【解析】提示：设由题意得, 故,所以. 所以因为为整数,所以. 又,则, 故. 5．【2017年湖北预赛】设函数,则该函数图象上整点的个数为 . 【答案】453 【解析】提示:易知函数在上单调递减,且2,. 当时,有, 所以,函数的图象上整点的个数为 6．【2017年四川预赛】已知函数,则 . 【答案】1008 【解析】提示:因为时,都有1,所以原式. 7．【2017年陕西预赛】设函数,若恒成立,则实数的值为 . 【答案】 【解析】提示：依题意,,即恒成立,所以解得. 8．【2017年陕西预赛】设方程的全部正整数解为,,则 . 【答案】290 【解析】提示：原方程可化为, 为的正约数有个,且, . 9．【2017年甘肃预赛】已知函数为奇函数,函数为偶函数,且,则 . 【答案】 【解析】提示:因为为奇函数,所以令得. 又因为为偶函数,所以 令得. 所以 10．【2017年贵州预赛】若函数在内有最大值,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】提示：因为函数在处取得极大值4, 又或4, 所以. 11．【2017年贵州预赛】已知函数满足:,函数与的图象的交点为,则 . 【答案】 【解析】提示：因为所以的图象关于点对称, 又函数的图象也关于点对称,故函数与的图象的交点也关于点对称, 所以 12．【2017年广东预赛】设是定义在上的奇函数,,当时,是增函数,且对任意的,都有,则函数在上的最大值是 . 【答案】 【解析】提示：因为是奇函数,且在上是增函数, 所以在上也是增函数,则， 又,所以， 故函数在[-3,-2]上的最大值为. 13．【2017年浙江预赛】已知,则实数 . 【答案】2 【解析】提示：将原式化简为，由于为上的增函数,为增函数,且.因此可得实数. 14．【2017年浙江预赛】设是中所有有理数的集合,对简分数,定义函数,则在中根的个数为 . 【答案】5 【解析】 提示:由于,令则有.由此检验可得方程的根的个数为 15．【2017年浙江预赛】已知方程有三个实根.若,则实数 . 【答案】 【解析】提示:设,定义域为, 方程可变形为 由得, 从而有， 于是，. 所以, 由于,可得, 即,有 16．【2017年湖南预赛】已知函数满足,则 . 【答案】24 【解析】提示：符合的函数原型为指数函数,由此得原式. 17．【2017年江苏预赛】若函数对于任意都满足,则的最小值是 . 【答案】 【解析】提示:,又,所以, 所以 令,则 所以的最小值是. 18．【2017年新疆预赛】设函数,其中为非负整数.已知,则 . 【答案】254 【解析】提示：因为均为非负整数,由得; 又由知. 因此,且对,有 同时,由知0. 故只需考虑如下方程组：. 二式联立得. 因为为非负整数,故,从而. 因此,. 19．【2017年新疆预赛】已知函数是上的减函数,且是奇函数.若满足不等式组则的取值范围是 . 【答案】 【解析】提示：由于是奇函数且在处有定义,所以有. 依题意,， 由于f(x)是减函数，从而有. 设， 于是， 从而， 即的取值范围是. 20．【2017年新疆预赛】已知是的三个零点.则 . 【答案】24 【解析】提示：由于的最高次数为4,故有4个零点(算重数). 注意到的四次项系数为1. 于是,可设为 从而可以得到. 21．【2017年新疆预赛】已知,则的最小值为 . 【答案】4 【解析】提示：首先,由对数的运算得， 由于,故 从而,由均值不等式得 其中当且仅当时等号成立. 22．【2017年新疆预赛】已知从甲地到乙地用了整数个小时,且每小时走的公里数与他从甲地到乙地所用的时间相同.从甲地到乙地每小时走2公里,且每走4公里休息1小时,共用了11小时.则甲、乙两地距离为 公里. 【答案】16 【解析】提示:设从甲地到乙地用了小时,在路上共休息了小时. 由所走路程相等列方程：解得 由于休息了小时,说明走了个4公里还没走到,且最多再走4公里后就能走到. 于是,.从而， 即A用了4小时，甲、乙两