专题07基本初等函数第三缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题07基本初等函数第三缉 1．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 解法一原方程化为． （1）． （2）时，的两根分别为1、3，不符合题意． （3）时，的两根分别为2，． 因此，符合题意要求． （4），即时，若，不符合要求； 若，因此，符合要求． 解法二，因为，所以 ． 上单调递增，在上单调递减． 又，所以的取值范围是． 2．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________. 【答案】（1，2）（4，5） 【解析】 由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）. 故答案为：（1，2）（4，5） 3．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________ 【答案】 【解析】 将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为. 故答案为： 4．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________ 【答案】 【解析】 由可得 即 也即，所以. 由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解. 方程等价于 也即 两边平方，解得.因此，不等式的解集是. 故答案为： 5．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______． 【答案】0 【解析】 因为， 所以有，得，故上是增函数， 进而．解得（舍）或． 故填0． 6．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1 【解析】 把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以. 7．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4 【解析】 因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为. 又的最大值为 故 故答案为：4 8．【2018年四川预赛】的值为______. 【答案】1 【解析】 令，则 从而，化简为. 所以，原式 故答案为：1 9．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且 是奇函数，则的值域为________. 【答案】 【解析】 由为奇函数可知，解得a= 2，即， 由此得的值域为. 10．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3 【解析】 因为 由得到，或. 由，得一个解；由得两个解，共3个解. 11．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】 【解析】 由. 令， ， 所以. 12．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______． 【答案】 【解析】 显然函数定义域为，在此区间内， 由于，即， 故有角使得． 于是， 因为，则． 在此范围内，则有． 因此．（当时，；当时，） 故答案为： 13．【2018年山西预赛】函数的值域为________. 【答案】 【解析】 由条件知. 令.则 ， ， ， 因为，所以，. 14．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________. 【答案】 【解析】 对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到 利用函数的周期性得到. 故答案为： 15．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________. 【答案】 【解析】 ① 由于是以4为周期的周期函数，所以当时 此时由周期性及①式的结果得到 故答案为： 16．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有 由于函数图像交点的横坐标c满足 ， 得到其图像为两条折线组成，且 故答案为： 17．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______． 【答案】2 【解析】 由为奇函数，且其图象关于直线对称， 知，且， 所以． 是以8为周期的周期函数． 又， 所以． 18．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若，则______． 【答案】24 【解析】 设，则， 于是． 所以． 所以是多项式的一个根． 又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点． 所以整除．故为整数． 所以． 由，得． 所以． 19．【