专题06基本初等函数第二缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题06基本初等函数第二缉 1．【2019年重庆预赛】函数的最小值为，最大值为，则________. 【答案】 【解析】设,则且，∴. ，令，. 令得，，， ∴，，∴. 2．【2019年重庆预赛】设是定义在上的单调函数，对任意有，，则 . 【答案】 【解析】由题意存在使。又因是上的单调函数，这样的是唯一的，再由得 解得或（舍）。所以，。 3．【2019年北京预赛】函数满足,且,其中,那么= . 【答案】. 【解析】因为,所以 , , , , , 将以上各式等号两边分别相加得,进而有 . 4．【2019年福建预赛】函数的值域为 . 【答案】 【解析】解法一:. 设，则. 由，得. ∴f(x)值域为. 解法二:. 时，时，. ∴f(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数. ∴f(x)值域为. 5．【2019年福建预赛】已知的图象关于点(2，0)对称，则f(1)= . 【答案】4 【解析】解法一:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知： 为奇函数. . 解法二:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知 对任意x∈R，f(2+x)+f(2-x)=0 于是，对任意x∈R，. 即恒成立. . . 解法三:依题意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2). 利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5. 于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f(1)=-1-(-5)=4. 6．【2019年福建预赛】已知，若方程f(x)=0的根均为实数，m为这5个实根中最大的根，则m的最大值为 . 【答案】4 【解析】设f(x)=0的5个实根为，则由韦达定理，得. . 于是，. . 另一方面，由柯西不等式，知 于是，. 又对，方程f(x)=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m=4. ∴m的最大值为4. 7．【2019年广西预赛】已知xyz+y+z=12,则的最大值为 . 【答案】 【解析】 . 当xyz=y=z=4取到等号. 8．【2019年贵州预赛】已知方程的五个根分别为,f(x)=x2+1.则 . 【答案】37 【解析】设,则,又f(x)=x2+1=(x-i)(x+i), 所以 . 9．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=-x2+x+m+2,若关于x的不等式的解集中有且仅有1个整数,则实数m的取值范围为 . 【答案】[-2,-1) 【解析】. 令. 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象, 由图象可知,整数解为x=0,故. 解得. 10．【2019年吉林预赛】已知函数的零点,其中常数a、b满足条件,则n的值为 . 【答案】-1 【解析】因为,所以1<a<2,0<b<1,故函数f(x)在R上为増函数,又,故由零点定理可知,函数f(x)在区间(1,0)有唯ー的零点,则n的值是-1. 11．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足，则的值为 . 【答案】 【解析】由条件知，故，所以. 12．【2018年山西预赛】函数的值域为________. 【答案】 【解析】 由条件知. 令.则 ， ， ， 因为，所以，. 13．【2018年福建预赛】函数的最小值为________. 【答案】 【解析】 设log3x=t，则. ∴. ∴当时，f(x)取最小值. 14．【2018年福建预赛】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________. 【答案】[1，2] 【解析】 ∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在区间[a－2，a2]上的值域为[－4，0]，f(x)的图像为开口向上的拋物线. ∴，解得－1≤a≤0或1≤a≤2.结合a>0，得1≤a≤2. ∴a的取值范围为[1，2]. 15．【2018年江苏预赛】设，期中表示的最大公约数，则的值为________. 【答案】520 【解析】 如果，则，所以. 又， 所以. 故答案为：520 16．【2018年贵州预赛】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______． 【答案】牛得亨先生的女儿 【解析】 由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞． 因此，牛