第七讲 圆的有关性质-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（人教版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 25 /第七讲 圆的有关性质 知识点一 圆的有关概念 例 1．【解答】∵OM⊥AB，∴AM＝BM. 若∠OAM＝30°，如图 1， ∵OM=2 3，∴OA=4 3 . ∴AM= 2 2 48 12OA OM   = 36 . ∴AM＝6. ∴AB＝2AM＝12. 图 1 若∠AOM＝30°，如图 2， ∵OM=2 3 ,OA=2AM. ∴OA2=AM2+OM2. ∴AM＝2.∴AB＝2AM＝4． 图 2 故答案为：12或 4． 练 1．【解答】如图，作 OC⊥AB于点 C，连接 OA，则 AC＝BC. ∵AB＝24 cm，∴AC＝ 1 2 AB＝12 （cm）. 在 Rt△OAC中，∵OC＝5 cm，AC＝12 cm， ∴ 2 2 2 25 12AO OC AC    ＝13 （cm）. 故答案为：13. 天疆中考 数学《课中主书》 26 例 2．【解答】如图，过点 O作 OD⊥AB于点 C，交⊙O于点 D. ∵CD＝4，OD＝10，∴OC＝6. 又∵OB＝10，∴在 Rt△BCO中，BC＝ 2 2OB OC ＝8. ∴AB＝2BC＝16． 故答案为：16 cm． 练 2．【解答】如图，连接 OC.∵F是弦 CD的中点，EF过圆心 O， ∴EF⊥CD，CF＝FD． ∵CD＝2，∴CF＝1. 设 OC＝x，则 OF＝3﹣x. 在 Rt△COF中，根据勾股定理，得 12+（3﹣x）2＝x2． 解得 x＝ 5 3 ，∴⊙O的直径为 10 3 米． 故答案为： 10 3 ． 知识点二 弧、弦、圆心角的关系 例 1．【解答】如图，延长 BC交⊙O于点 D，连接 AD，OA． ∵BD是直径，∴∠DAB＝90°. ∵∠B＝30°，∴∠D＝90°﹣30°＝60°. ∵OA＝OD，∴∠D＝∠OAD＝60°. ∴∠AOB＝∠D+∠OAD＝120°. ∴劣弧AB的度数等于 120°. 故答案为：120°． 天疆中考 数学《课中主书》 27 练 1．【解答】延长 CO交⊙O于点 R，连 AR、DR，过点 D作 DM⊥AR于点 M. ∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°. ∴∠DAR＝180°﹣ 1 2 ×90°＝135°. ∴∠DAM＝45°. ∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝ 2 . ∴MR＝2 2 ，DR＝ 10 . ∵2OD2＝DR2，∴OD＝ 5 . 故答案为： 5 . 例 2．【解答】如图，过点 O作 OC⊥AB交 AB于 C点. 由垂径定理可知，OC垂直平分 AB，则 AC＝ 1 2 AB＝3. ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝30°. ∴OC= 1 2 AO. 在 Rt△OAC中， ∵OA 2=OC 2+AC 2， ∴OA 2-（ 1 2 OA）2=32. 解得：OA= 2 3或 OA= 2 3 （舍去）. ∴OC= 1 2 OA= 3， 即圆心 O到 AB的距离为 3 . 故答案为： 3． 练 2．【解答】如图，过点 O作 OC⊥AB于点 C. 天疆中考 数学《课中主书》 28 ∵圆的半径是 4 cm，一条弦长是 4 2， ∴AO＝BO＝4 cm，AC＝BC＝2 2 cm. ∴CO＝ 2 2AO AC ＝2 2 cm. ∴OC = AC. 又∵∠ACO = 90°， ∴∠COA＝45°.∴∠BOA＝2∠COA=90°． 故答案为：2 2 cm，90°． 知识点三 圆周角 例 1．【解答】∵∠BAC＝ 1 2 ∠BOC＝ 1 2 ×120°＝60°， 而 AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝ 1 2 ∠BAC＝30°． 故答案为：30°． 练 1．【解答】∵半径 OA⊥弦 BC， ∴AC＝AB .∴∠AOB＝2∠ADC＝50°. ∴∠CBO＝90°﹣50°＝40°． 故答案为：40°． 例 2．【解答】∵四边形 ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°. ∵四边形 OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC.∴∠D+∠AOC＝180°. ∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°.∴∠ADC＝60°. 故答案为：60°． 练 2．【解答】如图，连接 OC.∵四边形 AODC是菱形，∴AC＝AO. ∵OA＝OC，∴AC＝AO＝OC. ∴△AOC是等边三角形.∴∠A＝60°. ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°. 故答案为：30°． 天疆中考 数学《课中主书》 29 例 3．【解答】∵AC＝AD，且∠DAC＝50°， ∴∠D＝∠ACD＝ 180 50 2   ＝65°. ∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣65°＝115°. 故答案为：115°． 练 3．【解答】∵四边形 ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°.∴∠