第六讲 旋转与中心对称-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（人教版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 20 第六讲 旋转与中心对称 知识点一 旋转 例 1．【解答】∵△ABC绕点 A顺时针旋转 60°得△ADE，∴∠C＝∠E. ∵∠C＝20°，∴∠E＝20°. 故答案为：20°． 练 1．【解答】∵△ABC绕点 A逆时针旋转至△ADE，使点 C落在 DE上， ∴∠E＝∠ACB，∠BAD＝∠CAE. ∵∠ACD＝∠E+∠CAE，即∠ACB+∠BCD＝∠E+∠CAE， ∴∠CAE＝∠BCD＝40°.∴∠BAD＝40°. ∴∠CAD＝∠EAB﹣∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣40°＝10°． 故答案为：10°． 例 2．【解答】作 BH⊥y轴于点 H，如图. ∵△OAB为等边三角形， ∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°. ∴BH＝ 3 OH＝2 3 . ∴B点坐标为（2 3，2）. ∵等边△AOB绕点 O顺时针旋转 180°得到△A′OB′， ∴点 B′的坐标是（﹣2 3，﹣2）． 故答案为：（﹣2 3，﹣2）． 练 2．【解答】如图，过点 B和 B′作 BD⊥x轴和 B′C⊥y轴于点 D，C， ∵∠AOB＝∠B＝30°，OA=2， ∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°. ∴AD＝1，BD＝ 3 . 天疆中考 数学《课中主书》 21 ∴OD＝OA+AD＝3. ∴B（3， 3）. ⸪ 将△AOB绕点 O逆时针旋转 90°，点 B的对应点为点 B'. ∴B′C＝BD＝ 3，OC＝OD＝3. ∴B′的坐标为：（- 3，3）． 故答案为：（- 3，3）． 例 3．【解答】第 2秒时，点 P在 OA上，OP＝2，此时 OA在 y轴的负半轴上，P（0，﹣2）. 正方形每 4秒一个循环，2 020÷4＝505. ∴2 020秒时，点 B在第一象限. ∵2 020÷12＝168…4，∴点 P在 AB上，P（1，3）. 故答案为：（0，﹣2），（1，3）． 练 3．【解答】∵点 A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3.∴AB＝ 2 23 4 ＝5. ∴三角形③的直角顶点坐标为：（12，0）. ∵每 3个三角形为一个循环组依次循环， 2 020÷3＝673…1， ∴第 2 020个三角形是第 674组的第一个直角三角形，其直角顶点与第 673组的最后一个直角三角形的 顶点重合. ∵673×12＝8 076， ∴第 2 020个三角形的直角顶点的坐标是（8 076，0）． 故答案为：（8 076，0）． 知识点二 中心对称 例 1．【解答】由题可得，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 3个：矩形、菱形、正方形. 故答案为：3． 练 1．【解答】①矩形是轴对称图形，是中心对称图形； ②等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； ③正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④圆是轴对称图形，是中心对称图形； ⑤线段是轴对称图形，是中心对称图形， 则是轴对称图形但不是中心对称图形的是②③. 故答案为：②③． 天疆中考 数学《课中主书》 22 例 2．【解答】如图，过点 O作 OH⊥BC于点 H，O′T⊥OH于点 T． 由题意在 Rt△O′OT中，OT＝ 3 2 ﹣ 1 2 ＝1，O′T＝ 3 2 + 1 2 ＝2. ∴OO′＝ 2 2OT O T ＝ 2 21 2 ＝ 5， 故答案为： 5 . 练 2．【解答】连接 BD，与 EF交于点 O. ∵正方形 ABCD与折线 D﹣E﹣F﹣B构成了中心对称图形， ∴OE＝ 1 2 EF，OD＝ 1 2 BD. ∵AD＝50，∴BD＝ 2 250 50 ＝50 2 .∴OD＝25 2 . 设 EF＝2x，则 OE＝x，DE＝2x+25. 在 Rt△DOE中，x2+（2x+25）2＝（25 2 ）2， 解得 x＝5或 x＝﹣25（舍去）． 则 EF＝5×2＝10． 故答案为：10． 例 3．【解答】∵点 P（﹣4，6）与 Q（2m，﹣6）关于原点对称， ∴2m＝4，解得：m＝2． 故答案为：2． 练 3．【解答】由点 A（3，5）与点 B（﹣3，n）关于原点对称，可得 n＝﹣5． 故答案为：﹣5． 模型思维 半角模型 例 1．【解答】（1）①依题意补全图形，如图 1. 天疆中考 数学《课中主书》 23 ②证明：连接 AF，如图 1. ∵ 13= 2 BAC  ，∴∠3＝∠1+∠2． ∵点 F与点 D关于直线 AE对称， ∴AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2． ∴∠4＝∠FAE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1． 又∵AC＝AB， ∴△ACF≌△ABD（SAS）.∴CF＝BD. （2）线段 DE，CE，CF之间的数量关系是 DE2＝CE2+CF2． 证明：连接 FA，FE，如图 2. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°. 由（1）②，可得 F