第八讲 点与圆、直线与圆的位置关系-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（人教版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 30 第八讲 点与圆、直线与圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 例 1．【解答】∵OP＝2 2 ＜3， ∴点 P在⊙O内部． 故答案是：内部． 练 1．【解答】①当点 P在圆内时，如图 1. ∵AP＝3 cm，BP＝7 cm， ∴AB＝10 cm.∴OA＝5 cm. ②当点 P在圆外时，如图 2. ∵AP＝3 cm，BP＝7 cm， ∴AB＝4 cm. ∴OA＝2 cm． 故答案为：2 cm或 5 cm． 图 1 图 2 例 2．【解答】∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上， ∴经过点 A，B，C可以确定一个圆. ∴该圆圆心必在线段 AB的垂直平分线上. ∴设圆心坐标为 M（2，m）， 则点 M在线段 BC的垂直平分线上. ∴MB＝MC. 由勾股定理得： 2 2 2 22 -3 -3) (2 5) ( 1)m m    （ ）（ . ∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1. ∴m＝0. ∴圆心坐标为 M（2，0）. 故答案为：（2，0）． 练 2．【解答】设直线 AB的解析式为 y＝kx+b. ∵A（1，0），B（0，2），∴ 0 2 k b b     ，解得 2 2 k b     . ∴y＝﹣2x+2． 天疆中考 数学《课中主书》 31 解方程组 4 2 2 y x y x       ，得 2 2 x y     . ∴当点 P的坐标为（2，﹣2）时，过 P，A，B三点不能作出一个圆． 故答案为：（2，﹣2）. 例 3．【解答】作△ABC的外接圆⊙O，过点 C作 CM⊥AB于点 M. ∵弦 AB已确定， ∴要使△ABC的面积最大，只要 CM取最大值即可. 如图所示，当 CM过圆心 O时，CM最大. ∵CM⊥AB，CM过点 O， ∴AM＝BM（垂径定理）.∴AC＝BC. ∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°， ∴OM＝AM＝ 1 2 AB＝ 1 6 2  ＝3. ∴OA＝ 2 2OM AM ＝3 2 . ∴CM＝OC+OM＝3 2 +3. ∴S△ABC＝ 1 2 AB•CM＝ 1 2 ×6×（3 2 +3）＝9 2 +9． 故答案为：9 2 +9． 练 3．【解答】如图，当点 A为优弧BC的中点时，△ABC的边 BC上的高最大，即△ABC面积最大. 延长 AO交 BC于点 D. 由垂径定理可知，AD⊥BC，BD＝CD＝2 3 . ∵ AB AC ，∴AB＝AC. 又∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形.∴AB＝BC＝4 3 . 由勾股定理得，AD＝ 2 2AB BD ＝6. ∴△ABC的面积＝ 1 2 BC•AD＝12 3 . 故答案为：12 3． 天疆中考 数学《课中主书》 32 知识点二 直线与圆的位置关系 例 1．【解答】∵32+42＝25，52＝25， ∴三角形为直角三角形. 设内切圆半径为 r，则 1 2 （3+4+5）r＝ 1 2 ×3×4，解得 r＝1. 所以应分为五种情况： 当一条边与圆相离时，有 0个交点； 当一条边与圆相切时，有 1个交点； 当一条边与圆相交时，有 2个交点； 当圆与三角形内切时，有 3个交点； 当两条边与圆同时相交时，有 4个交点， 故公共点个数可能为 0或 1或 2或 3或 4个． 故答案为：0或 1或 2或 3或 4． 练 1．【解答】∵圆的半径是 5，圆心到直线的距离为 4，小于圆的半径 5， ∴直线和圆相交. ∴直线和圆有 2个公共点． 故答案为：2. 例 2．【解答】∵直线 a⊥b，O为直线 b上一动点， ∴⊙O与直线 a相切时，切点为 H. ∴OH＝1 cm. 当点 O在点 H的左侧，⊙O与直线 a相切时，如图 1所示： OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3 cm. 当点 O在点 H的右侧，⊙O与直线 a相切时，如图 2所示： 天疆中考 数学《课中主书》 33 OP＝PH+OH＝4+1＝5 cm. ∴⊙O与直线 a相切，OP的长为 3 cm或 5 cm. 故答案为：3 cm或 5 cm． 练 2．【解答】分两种情况： （1）当⊙P与 x轴相切时，依题意，可设 P（x，2）或 P（x，﹣2）． ①当 P的坐标是（x，2）时，将其代入 y＝ 1 2 x2﹣1，得 2＝ 1 2 x2﹣1. 解得 x＝± 6 ，此时 P（ 6 ，2）或（﹣ 6 ，2）； ②当 P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入 y＝ 1 2 x2﹣1，得﹣2＝ 1 2 x2﹣1，无解． （2）当⊙P与 y轴相切时， ∵⊙P的半径为 2，∴当⊙P与 y轴相切时，点 P到 y轴的距离为 2. ∴P点的横坐标为 2或﹣2. 当 x＝2时，代入 y＝ 1 2 x2﹣1可得 y＝1；