第十一讲 反比例函数-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（人教版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 45 第十一讲 反比例函数 知识点一 反比例函数的图象和性质 例 1．【解答】∵函数 2 3 1m my mx   是反比例函数， ∴m2+3m﹣1＝﹣1，m≠0，解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 练 1．【解答】∵函数 2 5( 2) ky k x   为反比例函数， ∴k2﹣5＝﹣1且 k+2≠0，解得 k＝2． 故答案是：2． 例 2．【解答】分式方程 a x ＝1可化为 a x ﹣1＝0. ∴关于 x的分式方程 a x ＝1的解是函数 y＝ a x ﹣1的图象与 x轴的交点的横坐标. ∴分式方程 a x ＝1的解是 x＝3. 故答案为：x＝3． 练 2．【解答】由反比例函数的图象得 xy＝4，当等腰直角△ABC的斜边为底时，该底边上的高为这个底的 一半. 即 x＝2y，2y2＝4，解得：y＝ 2 . 则 x＝2 2 .∴x+y＝3 2 . 当等腰直角△ABC的一条直角边为底时，该底边上的高为另一条直角边， 即 x＝y，y2＝4，解得：y＝2，则 x＝2.∴x+y＝4. 综上可知，x+y的值为 4或 3 2 ． 故答案为：4或 3 2 ． 例 3．【解答】∵反比例函数 y＝ 1k x  ，当 x＜0时，y随 x的增大而减小， ∴k+1＞0，解得，k＞﹣1. 故答案为：k＞﹣1． 练 3．【解答】∵双曲线 y＝ 3 2m x  在每一象限内 y随 x的增大而减小， ∴3+2m＞0，解得：m＞﹣ 3 2 ． 天疆中考 数学《课中主书》 46 故答案为：m＞﹣ 3 2 ． 知识点二 反比例函数与一次函数 例 1．【解答】如图，设一次函数 y1＝k1x（k1 ≠ 0）与反比例函数 y2＝ 2 k x （k2 ≠ 0）的图象相交于点 M，N， 则 M，N点关于原点对称.∴ N（3，﹣2）. 把 M（﹣3，2）代入 y1＝k1x 得﹣3k1＝2，解得 k1＝﹣ 2 3 ， ∴一次函数解析式为 y1＝﹣ 2 3 x. 当 y＝5时，﹣ 2 3 x＝5，解得 x＝﹣ 15 2 ， ∴若 y2＜y1＜5，则 x的取值范围是﹣ 15 2 ＜x＜﹣3或 0＜x＜3． 故答案为：﹣ 15 2 ＜ x ＜﹣3或 0＜x＜3． 练 1．【解答】∵一次函数 y1＝kx +b的图象与反比例函数 y2＝﹣ 3 x 的图象相交于 A（﹣1，3）， B（m，﹣3）两点， ∴ m＝1.∴B（1，﹣3）. ∴一次函数 y1＝﹣3x. 图象如图所示： 根据图象可知： 当 y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜ x ＜0或 x＞1． 故答案为：﹣1＜x＜0或 x ＞1． 例 2．【解答】联立 y＝ 1k x  与 y＝﹣3x并整理得：3x2+k﹣1＝0. Δ＝0﹣3×4（k﹣1）＜0，解得：k＞1. 天疆中考 数学《课中主书》 47 故答案为：k＞1． 练 2．【解答】∵反比例函数 y＝ k x （x＞0）的图象与△ABC有公共点，过点 C（1，2）分别作 x轴、y轴的 平行线，交直线 y＝﹣x+8于 A，B两点， ∴1×2≤k且 y＝﹣x+8与 y＝ k x （x＞0）至少一个交点. ∴k≥2且﹣x+8＝ k x （x＞0）至少有一个解，解得：2≤ k ≤16. 故答案为：2≤ k ≤16． 例 3．【解答】一次函数 y＝x+k（k＞0）的图象与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B， 令 x＝0，则 y＝k，令 y＝0，则 x＝﹣k， 故点 A，B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k）. 则△OAB的面积＝ 1 2 OA•OB＝ 1 2 k2，而矩形 ODCE的面积为 k， 则 1 2 k2＝k，解得：k＝0（舍去）或 2. 故答案为：2． 练 3．【解答】（1）当点 P在直线 AB下方时， 作 AB的平行线 l，使点 O分别到直线 AB、直线 l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的 2倍. 直线 AB与 x轴交点的坐标为（﹣1，0），则直线 l与 x轴交点的坐标 C（1，0）. 设直线 l的表达式为：y＝x+b，将点 C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1. 故直线 l的表达式为 y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y＝ 2 x ②. 联立①②并解得：x＝2或﹣1（舍去）. （2）当点 P在 AB上方时， 同理可得，直线 l的函数表达式为：y＝x+3③.联立②③并解得：x＝ 3 17 2   （舍去负值）. 故答案为：2或 3 17 2   ． 知识点三 反比例函数的几何应用 天疆中考 数学《课中主书》 48 例 1．【解答】∵四边形 OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC. 设 B点的坐标为（a，b）. ∵点 E、点 F分别为 AB、BC边的中点， ∴E（ 1 2 a，b），F（a， 1 2 b）.