第十四讲 锐角三角函数-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（人教版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 62 第十四讲 锐角三角函数 知识点一 锐角三角函数的定义 例 1．【解答】∵∠C＝90°，sin A＝ 5 13 ，AC＝24， ∴ 12cos 13 A  .∴ 24 12 13 AC AB AB   . 解得：AB＝26． 故答案为：26 练 1．【解答】∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， ∴BC＝5，则 sin A＝ 5 13 BC AB  ． 故答案为： 5 13 ． 例 2．【解答】∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，∴AC＝ 2 22 1 ＝ 3 . ∴cos A＝ AC AB ＝ 3 2 . 故答案为： 3 2 ． 练 2．【解答】∵∠C＝90°，AC＝3，cos A＝ 3 5 ， ∴cos A＝ 3 5 ＝ AC AB . ∴AB＝5，则 BC= 2 25 3 ＝4． 故答案为：4． 例 3．【解答】在 Rt△ABC中， ∵∠A＝90°，BC＝13，AB＝12， 天疆中考 数学《课中主书》 63 ∴AC＝ 2 2BC AB ＝ 2 213 12 ＝5.∴tan B＝ AC AB ＝ 5 12 . 故答案为： 5 12 ． 练 3．【解答】在 Rt△ABC中，∠C＝90°， 则 tan B＝ b a ，tan A＝ a b ，∴ b a ＝2× a b ﹣1. 整理，得：2a2﹣ab﹣b2＝0， （2a+b）（a﹣b）＝0，解得 a＝b. ∴∠B＝45°. 故答案为：45°． 知识点二 特殊角的三角函数 例 1．【解答】sin 30°+cos 60°＝ 1 2 + 1 2 ＝1， tan 45°+cos 60°＝1+ 1 2 ＝ 3 2 . 故答案为：1； 3 2 ． 练 1．【解答】原式＝ 2 2 2 ( 3) 2 2 3 1 2 ( ) 2 2     ＝ 3 2 3 1 2 2   ＝3+ 2． 故答案为：3+ 2 ． 例 2．【解答】如图所示： cos B＝ BC AB ＝ 5 3 10 ＝ 3 2 ，故∠B＝30°． 故答案为：30°． 练 2．【解答】∵tan 30°＝ 3 3 ， ∴α+15°＝30°. ∴α＝15°. 故答案为：15． 例 3．【解答】原式＝2× 2 2 +2× 1 2 ﹣ 3 × 3＝ 2 +1﹣3＝ 2﹣2． 故答案为： 2 ﹣2． 天疆中考 数学《课中主书》 64 练 3．【解答】原式＝2× 3 2 ﹣ 3 ×1＝ 3﹣ 3＝0． 故答案为：0． 知识点三 解直角三角形的应用 例 1．【解答】如图，过点 A作 AD⊥BC，垂足为 D. ∵∠ACB＝45°，∴AD＝CD. 设 AB＝x， 在 Rt△ADB中，AD＝AB•sin 58°≈0.85x，BD＝AB•cos 58°≈0.53x. 又∵BC＝221 m，即 CD+BD＝221， ∴0.85x+0.53x＝221. 解得：x≈160. 答：AB的长约为 160 m． 练 1．【解答】（1）如图，过点 C作 CD ⟂ AB，垂足为 D. ∵AB⊥CD，sin 30°＝CD BC ，BC＝80（千米）， ∴CD＝BC•sin 30°＝80× 1 2 ＝40（千米）， AC＝ sin 45 CD 。 ＝ 40 2 2 ＝40 2（千米）. ∴AC+BC＝80+40 2 ≈1.41×40+80＝136.4（千米）． ∴开通隧道前，汽车从 A地到 B地大约要行驶 136.4千米． （2）∵cos 30°＝ BD BC ，BC＝80千米， ∴BD＝BC•cos 30°＝80× 3 2 ＝40 3（千米）. ∵tan 45°＝ CD AD ，CD＝40（千米）， ∴AD＝ tan 45 CD 。 ＝ 40 1 ＝40（千米）. ∴AB＝AD+BD＝40+40 3 ≈40+40×1.73＝109.2（千米）． 天疆中考 数学《课中主书》 65 ∴开通隧道后，汽车从 A地到 B地比原来少行驶的路程为： AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）． ∴开通隧道后，汽车从 A地到 B地大约可以少行驶 27.2千米． 例 2．【解答】由题意，得：EC＝2.在 Rt△BCD中， ∵∠CDB＝45°，∴BC＝BD. 在 Rt△BED中，∵tan∠BDE＝ BE BD ， ∴BE＝tan∠BDE•BD≈1.33BD. 设 BC＝x，则 BD＝x，BE＝1.33x. ∵BE﹣BC＝EC，∴1.33x﹣x＝2. 解得：x≈6. 即 BC＝6，此时 BE＝6+2＝8. ∴DE＝ 2 26 8 ＝10（m）． 练 2．【解答】（1）如图，过 A作 AM⊥DE，交 ED的延长线于点 M，过点 C作 CF⊥AM，垂足为 F，过点 C作 CN⊥DE，垂足为 N. 由题意可知，A