第十三讲 相似-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（人教版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 55 第十三讲 相 似 知识点一 相似三角形 例 1．【解答】∵l1∥l2∥l3，∴ DE DF ＝ AB AC . ∵ AB BC ＝ 3 2 ，∴ AB AC = 3 5 . ∴ DE DF ＝ 3 5 ． 故答案为： 3 5 . 练 1．【解答】∵EF∥BC，∴ CF CA ＝ BE BA ＝ 4 5 . ∴ AC FC ＝ 5 4 ． 故答案为： 5 4 ． 例 2．【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比为 3∶2， ∴对应周长的比值为 3∶2. 故答案为：3∶2． 练 2．【解答】∵△ABC与△DEF相似，面积比为 1∶4， ∴它们的相似比为 1∶2. 故答案为：1∶2． 例 3.【解答】①当 AB PC ＝ BP CD 时， ∵AB＝4，AD＝10，∴ 4 10 BP ＝ 4 BP . 解得：BP＝2或 BP＝8. ②当 AB CD ＝ BP PC 时，BP＝PC＝5. 综上所述，BP＝2或 BP＝8或 BP＝5． 故答案为：2或 8或 5． 练 3．【解答】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝ 2 23 4 ＝5. ∴△ABC的周长为 3+4+5＝12. 设 AD＝x. （1）作 DE⊥AC于 E，如图 1，则 AE＝6﹣x. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∴AD∶AB＝AE∶AC，即 x∶5＝（6﹣x）∶4，解得：x＝ 10 3 . 天疆中考 数学《课中主书》 56 （2）作 DF⊥BC于 F，如图 2，则 BD＝5﹣x，BF＝6﹣（5﹣x）＝1+x. ∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC. ∴BD∶BA＝BF∶BC，即（5﹣x）∶5＝（1+x）∶3，解得：x＝ 5 4 . （3）作 DG⊥AB，交 AC于 G，如图 3，则 AG＝6﹣x. ∵∠DAG＝∠CAB，∠ADG＝∠C＝90°， ∴Rt△ADG∽Rt△ACB. ∴AD∶AC＝AG∶AB，即 x∶4＝（6﹣x）∶5，解得 x＝ 8 3 . 综上所述，AD的长为 10 3 或 5 4 或 8 3 ． 故答案为： 10 3 或 5 4 或 8 3 ． 知识点二 相似三角形的判定 例 1．【解答】如图，设 DF，CE交于 O. ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB. ∵点 E，F分别是边 AB，BC的中点，∴BE＝CF. ∴△CBE≌△DCF（SAS）.∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF. ∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°. ∴∠COF＝90°.∴DF⊥CE. 天疆中考 数学《课中主书》 57 ∴CE＝DF＝ 2 2(2 2) ( 2) ＝ 10 . ∵点 G，H分别是 EC，FD的中点， ∴CG＝FH＝ 10 2 . ∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF•DF. ∴OF＝ 2CF DF ＝ 22 10 （ ）＝ 10 5 . ∴OH＝ 3 10 10 ，OD＝ 4 10 5 . ∵OC2＝OF•OD，∴OC＝ 10 4 10 5 5  ＝ 2 10 5 . ∴OG＝CG﹣OC＝ 10 2 ﹣ 2 10 5 ＝ 10 10 . ∴HG＝ 2 2OG OH ＝ 1 9 10 10  ＝1. 故答案为：1． 练 1．【解答】在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∠ADC=∠CDB， ∴∠A=∠BCD, ∴Rt△ACD∽Rt△CBD ∴ CD AD DB CD = ∴CD2＝AD•BD. ∴AD＝ 2CD BD ＝ 5 2 .∴AB＝AD+BD＝ 9 2 . 在 Rt△ACD和 Rt△ABC中， ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴ AC AD AB AC  . ∴ ABADAC 2 . ∴AC＝ AD AB ＝ 5 9 2 2  ＝ 3 5 2 . 故答案为： 3 5 2 ． 天疆中考 数学《课中主书》 58 例 2．【解答】设 AP＝x cm．则 BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm. 以 A，D，P为顶点的三角形与△PBC相似. ①当 AD∶PB＝PA∶BC时， 3 5 2 x x   ，解得 x＝2或 3． ②当 AD∶BC＝PA∶PB时， 3 = 2 5 x x ，解得 x＝3. ∴当以 A，D，P为顶点的三角形与△PBC相似时，AP的值为 2或 3． 故答案为：2或 3． 练 2．【解答】当∠ADE＝60°时，△ABD∽△DCE； 理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE