第七讲 解直角三角形-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（华东师大版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 23 第七讲 解直角三角形 知识点一 直角三角形的性质 例 1．【解答】∵竹竿 CD和旗杆 AB均垂直于地面，∴CD∥AB. ∴△OCD∽△OAB.∴ CD AB ＝ OD OB ，即 2 AB ＝ 3 3 9 .∴AB＝8（ m). 故答案为：8． 练 1．【解答】∵AB∥CD，∴△ECD∽△EAB. ∴ CD AB ＝ ED EB ，即 1.5 2 2 18AB   .∴AB＝15（米）． 故答案为：15． 例 2．【解答】依题意得：∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°. ∴△ABE∽△CDE.∴ AB CD ＝ AE CE .∴ 8 1.5 2 AB  .∴AB＝6（米）. 故答案为：6． 练 2．【解答】由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，△ACB∽△ADE. 故 AC AD ＝ BC DE ，则 1 10 ＝ 1.5 ED ，解得：ED＝15（m）. 故答案为：15． 例 3.【解答】取 CD的中点 E，连结 AE.在 Rt△ADC中，DE＝EC. ∴AE＝ 1 2 CD＝ED＝EC.∴∠EAC＝∠C＝25°. ∴∠AED＝∠EAC+∠C＝50°. ∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°. ∵AB＝ 1 2 DC，AE＝ 1 2 CD，∴AB＝AE. ∴∠BAE＝80°.∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝105°. 故答案为：105°． 练 3．【解答】连结 CD.∵∠C＝90°，点 D是 AB的中点， 天疆中考 数学《课中主书》 24 ∴CD＝ 1 2 AB＝AD. ∴∠DCA＝∠A＝40°. ∴∠DCE＝90°﹣40°＝50°. ∵CE＝ 1 2 AB，∴CD＝CE.∴∠CED＝ 1 2 ×（180°﹣50°）＝65°. 故答案为：65°． 知识点二 锐角三角函数 例 1．【解答】∵∠C＝90°，sin A＝ 5 13 ，AC＝24， ∴ 12cos 13 A  .∴ 24 12 13 AC AB AB   ，解得：AB＝26． 故答案为：26. 练 1．【解答】∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， ∴BC＝5，则 sin A＝ BC AB ＝ 5 13 ． 故答案为： 5 13 ． 例 2．【解答】sin 30°+cos 60°＝ 1 2 + 1 2 ＝1， tan 45°+cos 60°＝1+ 1 2 ＝ 3 2 . 故答案为：1； 3 2 ． 练 2．【解答】原式＝ 2 2 2( 3) 2 2 3 12 ( ) 2 2     ＝ 3 2 3 1 2 2   ＝3+ 2 ． 故答案为：3+ 2 ． 例 3．【解答】原式＝2× 2 2 +2× 1 2 ﹣ 3 × 3＝ 2 +1﹣3＝ 2 ﹣2． 故答案为： 2 ﹣2． 天疆中考 数学《课中主书》 25 练 3．【解答】原式＝2× 3 2 ﹣ 3 3 1 ×1＝ 3﹣ 3＝0． 故答案为：0． 知识点三 解直角三角形的应用 例 1．【解答】如图，过点 A作 AD⊥BC，垂足为 D. ∵∠ACB＝45°，∴AD＝CD，设 AB＝x. 在 Rt△ADB中，AD＝AB•sin 58°≈0.85x，BD＝AB•cos 58°≈0.53x. 又∵BC＝221，即 CD+BD＝221， ∴0.85x+0.53x＝221，解得：x≈160. 答：AB的长约为 160 m． 练 1．【解答】（1）如图，过点 C作 AB的垂线 CD，垂足为 D. ∵AB⊥CD，sin 30°＝CD BC ，BC＝80千米， ∴CD＝BC•sin 30°＝80× 1 2 ＝40（千米）， AC＝ sin 45 CD 。 ＝ 40 2 2 ＝40 2（千米）. ∴AC+BC＝80+40 2 ≈80+1.41×40＝136.4（千米）． ∴开通隧道前，汽车从 A地到 B地大约要走 136.4千米． （2）∵cos 30°＝ BD BC ，BC＝80千米， ∴BD＝BC•cos 30°＝80× 3 2 ＝40 3（千米）. ∵tan45°＝ CD AD ，CD＝40（千米）， ∴AD＝ tan 45 CD 。 ＝ ＝40（千米）. ∴AB＝AD+BD＝40+40 3 ≈40+40×1.73＝109.2（千米）． 天疆中考 数学《课中主书》 26 ∴汽车从 A地到 B地比原来少走的路程为： AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）． ∴开通隧道后，汽车从 A地到 B地大约可以少走 27.2千米． 例 2．【解答】由题意得，EC＝2. 在 Rt△BCD中， ∵∠CDB＝45°，∴BC＝BD. 在 Rt△BED中，∵tan∠BDE＝ BE BD ， ∴BE＝tan∠BDE•BD≈1.33BD. 设 BC＝x，则 BD＝x