第六讲 相似三角形的综合-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（华东师大版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 20 第六讲 相似三角形的综合 知识点一 位似图形 例 1．【解答】如图，△ABC∽△DEF. 故答案为：△ABC∽△DEF． 练 1．【解答】如图: 例 2．【解答】∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF. ∵BC:EF＝3:2，∴ ABC DEF S S   ＝ 2( )BC EF ＝ 9 4 . 故答案为：9:4． 练 2．【解答】∵以点 O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′，A′C′∥AC. ∴△OA′C′∽△OAC. ∵相似比为 3:1，∴ A C AC   ＝ OC OC  ＝ 1 3 . ∵A′C′＝3，∴AC＝9. 故答案为：9． 例 3．【解答】如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，﹣2）． 故答案为：（﹣2，﹣2）． 练 3．【解答】如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为 2. 点 B的对应点 B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）． 故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）． 知识点二 相似三角形的应用 例 1．【解答】设教学楼高度为 x m，列方程得： 1.6 24 2 x  ，解得 x＝19.2，故教学楼的高度为 19.2 m． 故答案为：19.2 m． 天疆中考 数学《课中主书》 21 练 1．【解答】∵ 1.7 1= = 3.4 2 小刚的身高 小刚的影长 ， ∴墙上的 2米投射到地面上为 4米，即旗杆的影子影子长共为 16+4=20(米). 设旗杆的高度为 x米. 则 2 1 20  x ，解得 x=10. 故旗杆的高度为 10米. 故答案为：10． 例 2.【解答】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°. 又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），∴△ABE∽△DCE. ∴ AB CD ＝ BE CE ，即 8 AB ＝ 10 5 ，解得 AB＝16 m． 故答案为：16． 练 2.【解答】∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE. ∴ BC DE ＝ AB AD ，即 24 40 ＝ 20 AB AB  . ∴AB＝30． 故答案为：30． 例 3．【解答】（1）设 x s后，可使△PCQ的面积为 8 cm2． 由题意得，AP＝x cm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2x cm， 则 1 2 （6﹣x）•2x＝8，整理得 x2﹣6x+8＝0，解得 x1＝2，x2＝4． 所以 P、Q同时出发，2 s或 4 s后可使△PCQ的面积为 8 cm2． （2）设 t秒后以 P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则 PC＝6﹣t，QC＝2t． 当△PCQ∽△ACB时， PC AC ＝ QC BC ，即 6 6 t ＝ 2 8 t ，解得：t＝ 12 5 ． 当△PCQ∽△BCA时， PC BC ＝ QC AC ，即 6 8 t ＝ 2 6 t ，解得：t＝ 18 11 ． 综上所述，当 t＝ 12 5 或 t＝ 18 11 时，以 P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 练 3．【解答】（1）∵点 A（0，6），B（8，0）， ∵AO＝6，BO＝8. ∴AB＝ 2 2AO BO ＝ 2 26 8 ＝10. ∵点 P的速度是 1厘米/秒，点 Q的速度是每秒 1厘米/秒， ∴AQ＝t，AP＝10﹣t. ①当∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴ AP AQ AO AB  . 天疆中考 数学《课中主书》 22 即 10 6 10 t t  ，解得 t＝ 25 4 ＞6，舍去； ②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴ AQ AP AO AB  . 即 10 6 10 t t  ，解得 t＝ 15 4 . 综上所述，t＝ 15 4 秒时，△APQ与△AOB相似. （2）如图，过点 P作 PC⊥OA于点 C. ∵OA=6厘米,OB=8 厘米 ∴A(0，6),B（8,0）. ∴过 A,B两点的直线的解析式为 6 4 3  xy . 设 P点的坐标为（m,n）,则 PC=m. 在 RT△ACD中， 222 APPCAC  , 即  22 2 10 4 3 tmm       ， ∴  tm  10 5 4 . ∴PC=  t10 5 4 . ∴△APQ的面积＝ 1 2 ×t× 4 5 （10﹣t）＝8， 整理，得：t2﹣10t+20＝0. 解得：t＝5+ 5＞6（舍去）或 t＝5﹣ 5 . 故当 t＝5﹣ 5 s时，△APQ的面积为 8 cm2． $天疆中考·数学 第六讲相似三角形的综合 中考分析 年份题号分值 考查内容 202023(2)4利用相似三角形的综合问题 201922(2)4利用相似三角形的综合问题