第五讲 相似三角形-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（华东师大版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 14 第五讲 相似三角形 知识点一 相似三角形 例 1．【解答】设 DF、CE交于点 O. ∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB. ∵点 E，F分别是边 AB，BC的中点，∴BE＝CF. ∴△CBE≌△DCF（S.A.S）. ∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF. ∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°. ∴∠COF＝90°. ∴DF⊥CE. ∴CE＝DF＝ 2 2(2 2) ( 2) ＝ 10 . ∵点 G，H分别是 EC，FD的中点，∴CG＝FH＝ 10 2 . 在 RT△COF和 RT△DCF中， ∠CFO=∠DFC，∠FOC=∠FCD， ∴Rt△COF∽Rt△DCF. ∴ DF CF CF OF  . ∴CF2＝OF•DF. ∴OF＝ 2CF DF ＝ 2( 2) 10 ＝ 10 5 . ∴OH＝ 3 10 10 ，OD＝ 4 10 5 . ∵∠DCF＝90°. ∴CO⊥DF, ∴∠OFC+∠FCO=∠FCO+∠OCD， ∴∠OFC=∠OCD， 又∵∠COF=∠DOC，∴Rt△COF∽Rt△FOC. ∴ OC OF FO CO  . ∴OC2＝OF•OD，∴OC＝ 10 4 10 5 5  ＝ 2 10 5 . ∴OG＝CG﹣OC＝ 10 2 ﹣ 2 10 5 ＝ 10 10 . 天疆中考 数学《课中主书》 15 ∴HG＝ 2 2OG OH ＝ 1 9 10 10  ＝1. 故答案为：1． 练 1．【解答】在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∠ADC=∠CDB， ∴∠A=∠BCD, ∴Rt△ACD∽Rt△CBD ∴ CD AD DB CD = ∴CD2＝AD•BD. ∴AD＝ 2CD BD ＝ 5 2 . ∴AB＝AD+BD＝ 9 2 . 在 Rt△ACD和 Rt△ABC中， ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴ AC AD AB AC  . ∴ ABADAC 2 . ∴AC＝ AD AB ＝ 5 9 2 2  ＝ 3 5 2 . 故答案为： 3 5 2 ． 例 2．【解答】设 AP＝x cm．则 BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm. 以 A，D，P为顶点的三角形与以 B，C，P为顶点的三角形相似， ①当 AD：PB＝PA：BC时， 3 5 x ＝ 2 x ，解得 x＝2或 3； ②当 AD：BC＝PA：PB时， 3 2 ＝ 5 x x ，解得 x＝3. ∴当 A，D，P为顶点的三角形与以 B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为 2或 3． 故答案为：2或 3． 练 2．【解答】当∠ADE＝60°时，△ABD∽△DCE. 理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC. ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， 天疆中考 数学《课中主书》 16 ∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE． 故答案为：60°. 例 3．【解答】∵点 P从 A出发，以每秒 1厘米的速度向 B运动，点 Q从 C同时出发，以每秒 2厘米的速 度向 A运动， ∴AP＝t，CQ＝2t，AQ＝16﹣2t． ∵∠BAC＝∠PAQ，且以 A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ∴ AP AQ AC AB  或 AP AQ AB AC  .∴ 16 2 16 8 t t  或 16 2 8 16 t t  . ∴t＝4或 32 5 . 故答案为：4或 32 5 . 练 3．【解答】设从出发开始 t秒后△APQ与△ABC相似. ∵AP＝t，CQ＝2t，∴AQ＝10﹣2t. ①如图 1，当∠APQ＝∠B＝90°时，△APQ∽△ABC， ∴ AP AB ＝ AQ AC ，∴ 8 t ＝ 10 2 10 t . ∴t＝ 40 13 . ②如图 2，当∠AQP＝∠B＝90°时，△AQP∽△ABC， ∴ AQ AB ＝ AP AC . ∴ 10 2 8 t ＝ 10 t ，解得：t＝ 25 7 . 综上所述，从出发开始 40 13 秒或 25 7 秒后△APQ与△ABC相似． 故答案为： 40 13 或 25 7 ． 例 4．【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比为 3:2， ∴对应周长的比值为 3:2. 故答案为：3:2． 天疆中考 数学《课中主书》 17 练 4．【解答】∵△ABC与△DEF相似，面积比为 1:4， ∴它们的相似比为 1:2. 故答案为：1:2． 知识点二 中位线 例 1．【解答】∵在△ABC中，D、E分别是 BC、AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线