第十讲 二次函数（二）-【天疆中考】2021-2022学年九年级上册初三数学课中主书（华东师大版）河南专版

天疆中考 数学《课中主书》 36 第十讲 二次函数（二） 知识点一 待定系数法求二次函数的解析式 例 1．【解答】根据题意设抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点 C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1. ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3. 故答案为：y＝﹣x2+2x+3． 练 1．【解答】根据题意设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣1）（x+2）， 将（0，1）代入得：﹣2a＝1，即 a＝﹣ 1 2 ， 则二次函数的解析式为 y＝﹣ 1 2 x2﹣ 1 2 x+1. 故答案为：y＝﹣ 1 2 x2﹣ 1 2 x+1． 例 2.【解答】设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣2)2+1， 将 B（1，0）代入 y＝a（x﹣2）2+1得，0＝a+1.∴a＝﹣1. ∴二次函数的解析式为 y＝﹣（x﹣2）2+1，即 y＝﹣x2+4x﹣3. 故答案为：y＝﹣x2+4x﹣3． 练 2．【解答】设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2)2﹣1， 且该抛物线的形状与抛物线 y＝2x2相同且开口方向向下， ∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣2）2﹣1. 故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1． 例 3．【解答】根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝（x﹣1）2. 故答案为：y＝（x﹣1）2.（答案不唯一） 练 3．【解答】根据题意得：抛物线与 x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或 （2，﹣3）. 设函数的解析式为 y＝a（x﹣2）2+3或 y＝a（x﹣2）2﹣3， 把点（5，0）代入 y＝a（x﹣2）2+3得 a＝﹣ 1 3 ； 把点（5，0）代入 y＝a（x﹣2）2﹣3得 a＝ 1 3 . ∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为 y＝﹣ 1 3 （x﹣2）2+3或 y＝ 1 3 （x﹣2）2﹣3． 故答案为：y＝﹣ 1 3 (x﹣2)2+3或 y＝ 1 3 （x﹣2）2﹣3． 知识点二 二次函数的最值问题 例 1．【解答】∵x2﹣3x+y﹣5＝0，∴y＝﹣x2+3x+5. 天疆中考 数学《课中主书》 37 ∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6. ∴y﹣x的最大值为 6. 故答案为：6． 练 1．【解答】∵y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣6＝﹣（x﹣2）2﹣2， ∴当 x＝2时，二次函数取得最大值． 故答案为：2． 例 2．【解答】设运动时间为 t秒时（0≤t≤6），四边形 APQC的面积为 S. ∵PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t， ∴S△BPQ＝ 1 2 PB•BQ＝ 1 2 （12﹣2t）•4t＝24t﹣4t2. ∴S＝S△ABC﹣S△BPQ＝ 1 2 AB•BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144. ∵S＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108， ∴经过 3秒四边形 APQC的面积最小. 故答案为：3． 练 2．【解答】设点 E运动的时间为 t秒，EFGH的面积为 S cm2，则 AE＝t，EB＝6﹣t， S＝62﹣ (6 ) 2 t t ×4＝36+2（t﹣3）2﹣18＝2（t﹣3）2+18. ∴当 t＝3时，S取得最小值，此时 S＝18. 故答案为：3． 例 3．【解答】∵x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1，﹣x2﹣1≤﹣1， ∴x2+2x+2＞﹣x2﹣1. ∴y＝max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}＝x2+2x+2≥1， 即函数 y＝max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值是 1． 故答案为：1． 练 3．【解答】联立 2 1,y x y x        ，解得 1 2 1 2 1 5 1 5 2 2, . 1 5 5 1 2 2 x x y y                 所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是 5 1 2  ． 故答案为： 5 1 2  ． 知识点三 二次函数与一元二次方程 例 1．【解答】令 x2+2x﹣3＝0， 天疆中考 数学《课中主书》 38 则Δ＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0. ∴方程 x2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根. ∴二次函数 y＝x2+2x﹣3的图象与 x轴有两个交点. 故答案为：两． 练 1．【解答】当 y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得 x1＝x2＝1. ∴抛物线与 x轴的交点坐标为（1，0）. ∴抛物线 y＝x2﹣2x+1与 x轴只有一个交点． 故答案是：1． 例 2．【解答】由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4（14m﹣1）≥0， 解得：m≤ 5 56 . 故答案为：m≤ 5 56 ． 练 2．【解答】∵抛物线 y＝x2+bx+3的对称轴为直线 x＝1， ∴﹣ 2 1 b