专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.8 三角函数的应用（知识讲解） 【学习目标】 会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数之间的关系 　　如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，； 　　(2)平方关系：； 　　(3)倒数关系：或； 　　(4)商数关系：． 　　要点诠释： 　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】 类型一、利用同角三角函数关系求值 1． 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB计算. 解：原式； 原式 . 故答案为：（1）；（2）2. 【点拨】本题考查了三角函数值的计算. 举一反三： 【变式1】已知∠A为锐角且sinA=，则4sin2A－4sinAcosA＋cos2A的值是多少。 【答案】 【分析】先求出的度数，再求出的值，最后代入计算即可. 解：为锐角，且 . 【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键. 【变式2】.如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】 （1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果． 解：（1）证明， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴BE=DF， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴AE=3，BE=4． ∵BE=DF，AE=CF， ∴BE=DF=4，AE=CF=3， ，， ∴， ∴tan∠CBF=，tan∠ECF=， ∴，得到EF=，或EF=（舍去）， ∴BD=4+4+=， 即BD=． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题． 【变式3】求值： (1)；