5.5 三角函数模型的简单应用-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第5章 三角函数 5.5 三角函数模型的简单应用 学习导航 1、 会用三角函数模型解决一些简单的实际问题。 2、 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 教学过程 一、三角函数的应用 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 例题1 1．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（ ） A．2h米 B．h米 C．h米 D．2h米 【答案】A 【分析】 由图可得，，，进而可得结果 【详解】 如图所示，，， 故答案为：A 2、 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 例题2 2．如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系式，则有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 根据题意可得出的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得的值，进而得出结论. 【详解】 由题意可知，可得，该函数的周期为， . 故选：B. 课时训练 1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用最高点和最低点可得周期及的大小，再利用最高点的坐标可得， 从而得到的解析式. 【详解】 因为3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，所以半周期， 故，所以， 又，所以 ， 所以， 当时，，，. ，故选A. 2．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由低潮时和高潮时的水深，列方程组可得的值，利用相邻两次高潮时间得出周期，求得，再由，求出，可得函数的解析式． 【详解】 依题意，，解得， 又， ． 又（3）， ， ． ， ． 故选：A 3．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，，则的最大值（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作，设，则，根据余弦定理求出，由，配方即可求最值. 【详解】 作，垂足为，设，则， 由余弦定理， ， 故当时，取得最大值，最大值为， 故选：D． 4．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为 A．5A B．2.5A C．2A D．－5A 【答案】B 【分析】 由已知直接把代入，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出. 【详解】 解：当时，. 故选：. 5．在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间（单位：秒）时离开平衡位置的位移（单位：）和（单位：）分别由下列两式确定：，．则在时刻时，与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】 直接代入函数解析式，再根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】 解：因为， 所以当时，，，所以． 故选：C 6．如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（ ） A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为 C．该质点在和时振动速度最大 D．该质点在和时的振动速度为0 【答案】B 【分析】 根据简谐运动的概念判断AB，运动曲线与速度的关系判断CD． 【详解】 由图象可知周期是，A错，振幅为，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在和时振动速度为0，C错，质点在和时的振动速度不为0，D错． 故选：B． 7．位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则 A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 【答案】C 【分析】 根据摩天轮的直径和所给线段，求得OD的值；再作，．根据OE与OB的长度，求得的度数，即可得的度数，进而根据顺时针旋转即可求得经过的时间t． 【