5.5 三角函数模型的简单应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

5.5　三角函数模型的简单应用 学习目标 1.会用三角函数解决简单的实际问题，培养数学运算的核心素养. 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型，培养数学建模的核心素养. 知识点　建立三角函数模型的步骤 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型. (　　) (2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据.作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型. (　　) (3)函数y＝｜cos x｜的图象是以2π为周期的波浪形曲线. (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　) 答案：C 解析：设所对的圆心角为α，α∈[0，2π]，圆的半径为R.由l＝αR，可知α＝，结合圆的几何性质，可知＝Rsin， 所以d＝2Rsin＝2Rsin. 又R＝1，所以d＝2sin，故结合正弦图象可知，选C. 3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　) A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] 答案：C 解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 4.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 答案：y＝－4cos t 解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－， 故y＝4sin，即y＝－4cos t. 学生用书⬇第146页 探究点一　三角函数在物理学中的应用 已知表示电流I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜). (1)若电流I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)为了使I＝Asin(ωx＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？ 解：(1)由题图知，A＝300. T＝－＝，所以ω＝＝100 π. 因为是该函数图象的一个零点， 所以－＝－. 所以φ＝＝，符合｜φ｜＜， 所以I＝300sin(t≥0). (2)问题等价于T≤，即≤， 所以ω≥200π.所以正整数ω的最小值为629. 处理物理学问题的策略 1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. 2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 对点练1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　) A.2 s B.1 s C. s D.s 答案：C 解析：由题意，知周期T＝＝1(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为s. 探究点二　三角函数在实际生活中的应用 据市场调查，某种商品一年内每月的单价(单位：万元)满足函数关系式f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)，其中x(1≤x≤12，x∈N＋)为月份.已知3月份该商品的单价首次达到最高，为9万元，7月份该商品的单价首次达到最低，为5万元. (1)求f(x)的解析式； (2)求此商品的单价超过8万元的月份. 解：(1)由题可知＝7－3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝. 所以 所以f(x)＝2sin＋7. 又f(x)的图象过点(3，9)，所以2sin＋7＝9， 所以sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 又｜φ｜＜，所以φ＝－， 所以f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋). (2)令2sin＋7＞8， 得sin＞， 所以＋2kπ＜x－＜＋2kπ，k∈Z， 解得＋8k＜x＜＋8k，k∈Z. 因为1≤x≤12，x∈N＋，所以x＝2，3，4，10，11，12. 故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的单价超过8万元. 学生用书⬇第147页 解三角函数应用问题的基本步骤 对点练2.某大型企业一天中不同时刻的用电量y(单位：万千瓦时)关于时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数y＝f(t)近似满足f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y与时间t的大致图象. (1)根据图象，求A，ω，φ，B的值； (2)若某日的供电量g(t)(万千瓦时)与时间t(小时)近似满足函数关系式g(t)＝－1.5t＋20(0≤t≤12)，当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产.请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻(精确度为0.1). 解：(1)由题图知T＝12，ω＝. A＝＝＝0.5，B＝＝＝2. 所以y＝0.5sin＋2. 因为函数y＝0.5sin＋2过点(0，2.5)， 所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，又0＜φ＜π，所以φ＝. 综上，A＝0.5，ω＝，φ＝，B＝2， 即f(t)＝0.5sin＋2. (2)令h(t)＝f(t)－g(t)，设h(t0)＝0， 则t0为该企业的停产时间. 由h(11)＝f(11)－g(11)＜0，h(12)＝f(12)－g(12)＞0，即t0∈(11，12). 又h(11.5)＝f(11.5)－g(11.5)＜0， 则t0∈(11.5，12). 又h(11.75)＝f(11.75)－g(11.75)＞0， 则t0∈(11.5，11.75). 又h(11.625)＝f(11.625)－g(11.625)＜0， 则t0∈(11.625，11.75). 又h(11.687 5)＝f(11.687 5)－g(11.687 5)＞0， 则t0∈(11.625，11.687 5). 因为｜11.687 5－11.625｜＝0.062 5＜0.1. 所以大致在11.625时停产. (若换算成时间应为11点37分到11点41分停产) 探究点三　三角函数模型的拟合 下表是某地2024年的月平均气温(华氏)： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 用x表示月份－1，y表示平均气温，建立y关于x的函数. (1)画出散点图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅A； (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①＝cos；②＝cos； ③＝cos；④＝sin. 解：(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示. (2)1月份的平均气温最低，为21.4 ℉，7月份的平均气温最高，为73.0 ℉，根据散点图知＝7－1＝6，所以T＝12. (3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8. (4)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0， 代入①，得＝＞1≠cos，所以①不适合. 代入②，得＝＜0≠cos， 所以②不适合.同理，④不适合，所以③最适合. 学生用书⬇第148页 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 1.根据原始数据，绘出散点图； 2.通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； 3.根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 对点练3.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该函数模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 解：(1)由数据知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适.令A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.由表知A＝，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.把t＝0，y＝1代入y＝sin＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝sin＋1(0≤t≤24). (2)由y＝sin＋1≥0.8，得sin ≥－，则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当. 1.风力发电不需要燃料、不占耕地、没有污染，运行成本低，所以产业发展前景非常广阔，在某风速时，传感器显示的电压按正弦规律变化，下表是时间和电压的相关数据，则风力发电的风叶转一圈的时间为(　　) 时间t(单位：s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 电压U(单位：V) 0 22 0 －22 0 22 0 A.0.2 s B.0.4 s C.0.6 s D.0.8 s 答案：B 解析：观察表格信息可知：电压从0到－22、从－22到0、从0到22、从22到0，四个过程是一个周期，所以风力发电的风叶转一圈的时间为0.4 s，故选B. 2.已知某种交流电电流i(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数i＝5sin，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行　　　　次. 答案：25 解析：因为周期T＝＝(s)，所以频率为每秒50次， 所以0.5 s往复运行25次. 3.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－2sin，t∈[0，24). 实验室这一天的最大温差是　　　　(℃). 若要求实验室温度不高于11 ℃，则实验室需要降温的时间长度是　　　　小时. 答案：4　8 解析：因为f(t)＝10－2sin， 又0≤t＜24，所以≤t＋＜， －1≤sin≤1. 当t＝2时，sin＝1； 当t＝14时，sin＝－1. 于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温. 故有10－2sin＞11， 即sin＜－， 又0≤t＜24， 因此＜t＋＜， 即10＜t＜18. 故在10时至18时实验室需要降温，其时间长度为18－10＝8(小时). 课时分层评价42　三角函数模型的简单应用 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为(　　 ) A. s B. s C. s D. s 答案：B 解析：最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期，T＝ s＝ s. 2.如图所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　 ) A.该简谐运动的振动周期为0.7 s B.该简谐运动的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时振动速度为零 答案：B 解析：由图象知，振幅为5 cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4 s，故T＝0.8 s，故A错误；该质点在0.1 s和0.5 s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误；该质点在0.3 s和0.7 s时正好回到平衡位置，而不是振动速度为零，故D错误. 3.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A.200 B.400 C.200π D.400π 答案：D 解析：由题图可得ω＞0，T＝4×＝，即＝，所以ω＝400π.故选D. 4.(多选)健康成年人的收缩压和舒张压一般分别为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足关系式p(t)＝a＋bsin ωt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.ω＝80π B.收缩压为120 mmHg C.舒张压为70 mmHg D.每分钟心跳80次 答案：BCD 解析：由题图知T＝2×＝，所以＝，得ω＝160π，故选项A不正确； 由题图知p(t)在一个周期内的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为120 mmHg，舒张压为70 mmHg，故选项B、C正确； 每分钟心跳次数为＝80，故选项D正确. 故选BCD. 5.(多选)筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，下列结论正确的是(　　) A.t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为t－ B.t分钟时，该盛水筒距水面的距离为［sin(t－)＋］米 C.1分钟时该盛水筒距水面的距离与3分钟时该盛水筒距水面的距离相等 D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面的距离不小于3米 答案：ACD 解析：依题意设函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b.由题意得A＝3，b＝，T＝6，所以ω＝＝，所以y＝3sin＋.当t＝0时，y＝0，所以3sin φ＋＝0，即sin φ＝－，不妨取φ＝－，所以y＝3sin＋. t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为t－，盛水筒距水面的距离为［3sin＋］米，故A正确，B错误. 当t＝1时，y＝3sin＋＝3；当t＝3时，y＝3sin＋＝3，故C正确. 令y＝3sin＋≥3，得sin≥，在一个周期内，≤t－≤，解得1≤t≤3，1个小时内有10个周期，所以有2×10＝20分钟，故D正确.故选ACD. 6.如图，某地一天从6 h到14 h的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω＞0，0≤φ＜2π)，则温度变化曲线的函数解析式为　　　　. 答案：y＝10sin＋20，x∈[6，14] 解析：由图象可知B＝20，A＝＝10， ＝14－6＝8，T＝16＝，解得ω＝. 将(6，10)代入y＝10sin＋20可得 sin＝－1， 由0≤φ＜2π可得φ＝， 所以y＝10sin＋20，x∈[6，14]. 7.函数y＝sin ωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为　　　　. 答案： 解析：根据题意及三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角.取AB的中点D(图略)，由三角函数的最大值为1，最小值为－1，可得CD＝1－(－1)＝2，故AB＝2CD＝4，又AB为函数的一个周期的长度，故4＝，解得ω＝. 8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，港口的水深会随潮汐的变化而变化.某港口的水深y(单位：米)是时刻t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日该港口水深的数据，经长期观察，曲线y＝f(t)可以近似地看成函数y＝Asin ωt＋b(A＞0，ω＞0)的图象，根据以下数据，函数y＝f(t)的近似表达式为　　　　　　　　. t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 8.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0 答案：y＝3sin t＋8 解析：由题表得b＝＝8，A＝＝3，·＝6，即ω＝.所以函数y＝f(t)的近似表达式为y＝3sin t＋8. 9.(10分)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？ 解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜｜φ｜＜π).由①可知，函数的周期是12；由②可知，f(2)最小， f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知， f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500. 所以＝12，且 所以ω＝，A＝200，B＝300. 又当x＝2时， f(x)最小，当x＝8时， f(x)最大， 所以sin＝－1，且sin＝1. 因为0＜｜φ｜＜π，所以φ＝－. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sin＋300. (2)令200sin＋300≥400， 化简得sin≥， 即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z. 因为x∈N＋，且1≤x≤12，所以x＝6，7，8，9，10，即在6月、7月、8月、9月、10月要准备不少于400份的食物. 10.(10分)在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4∶00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h. (1)若从10月10日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系； (2)10月10日17∶00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m？ 解：(1)依题意知T＝＝12， 故ω＝，h＝＝12.2， A＝16－12.2＝3.8， 所以d＝3.8sin＋12.2. 又因为t＝4时，d＝16， 所以sin＝1，所以φ＝－， 所以d＝3.8sin＋12.2. (2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2 ＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m). (3)令3.8sin＋12.2＜10.3， 即sin＜－， 因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)， 所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π(k∈Z)， 所以12k＋8＜t＜12k＋12. 令k＝0，得t∈(8，12)； 令k＝1，得t∈(20，24). 故这一天共有8 h水深低于10.3 m. (11、12每小题5分，共10分) 11.(多选)如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有(　　 ) A.经过3分钟，点P首次到达最低点 B.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高 C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低 D.摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米 答案：ABD 解析：以O为原点，过O且平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，☉O为摩天轮，P为圆上的动点，设P到地面的高为h. 由题设有P， 故h＝40sin＋45＝40cos t＋45，其中t≥0. 对于A，令h＝5，则cos t＝－1，解得t＝6k＋3，k∈N， 故点P首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A正确. 对于B，当t＝4时，h1＝40cos ＋45，当t＝8时，h2＝40cos ＋45， 因为cos ＝cos ＝－，故h1＝h2，故B正确. 对于C，当7≤t≤10，≤t≤， 而＜3π＜＜且y＝cos u在是单调递增的，故h＝40cos t＋45在[7，10]上不是单调函数，故C错. 对于D，考虑0≤t≤6时不等式40cos t＋45≥65的解，故cos t≥， 解得0≤t≤1或5≤t≤6， 故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D正确.故选ABD. 12.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为　　　　　　　. 答案：h＝－6sin t，t∈[0，24] 解析：根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，＝12，所以ω＝，点(6，0)为“五点”作图法中的第一点， 所以×6＋φ＝0，所以φ＝－π， 所以h＝6sin＝－6sin t，t∈[0，24]. 学生用书⬇第149页 学科网（北京）股份有限公司 $