5.3 三角函数的图象与性质-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第5章 三角函数 5.3 三角函数的图象与性质 学习导航 1、 了解正弦函数、余弦函数的图象。 2、 .会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象。 3、 .能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题。 4、 了解周期函数、周期、最小正周期的意义。 5、 掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小。 6、 并会求简单三角函数的值域和最值。 7、 理解并掌握正切函数的性质。 教学过程 一、正弦函数、余弦函数的图像 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0)，，(π，0)， ，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)， ，(2π，1) 正(余)弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线 例题1 1．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据分类讨论，结合的性质可得． 【详解】 由题知，．若，选项C满足； 若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足； 若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D． 故选：D． 2、 函数的周期性 1．函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 例题2 2．函数y=sin的周期是（ ） A．2π B．π C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用三角函数的周期公式求解即可． 【详解】 解：因为函数y=sin，所以函数的最小正周期． 故选：C． 三、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 例题3 3．已知函数，下面结论错误的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】 对于A，求出函数的最小正周期判断得解；对于B，利用复合函数的单调性分析判断；对于C，利用三角函数的对称性分析判断；对于D，利用函数的奇偶性判断得解. 【详解】 对于A，由周期公式可得：，故A正确； 对于B，由，得，函数的单调递增区间为：，故B正确； 对于C，由于，不是函数的最值，故C错误； 对于D，由于，有，故D正确． 故选：C． 四、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 例题4 4．函数与共同的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据正弦函数和余弦函数的图象与性质，写出两函数在，上相同的减区间即可． 【详解】 解：根据正弦函数和余弦函数的图象与性质知， 函数和在，上相同的减区间是， 和都是减函数的区间是，，即． 故选：D 例题5 5．已知函数，当取得最小值时，等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】 由正弦函数的性质，先求出当取得最小值时x的取值，从而求出. 【详解】 函数，当取得最小值时，有，故，． ，． 故选：A． 5、 正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 对称性 对称中心(k∈Z) 例题6 6．函数图象的对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 解方程，可得结果. 【详解】 因为正切函数的对称中心为， 由可得， 因此，函数图象的对称中心是. 故选：D. 课时训练 1．函数的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 解方程，，即得解. 【详解】 函数中， 令，； 解得，； 所以时，的一个对