专题23.3 相似三角形的判定-重难点题型-2021-2022学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）【学科网名师堂】

专题23.3 相似三角形的判定-重难点题型 【华东师大版】 【知识点1 相似三角形的判定】 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【题型1 相似三角形的判定（判定定理1）】 【例1】（2021•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC． 【解题思路】根据平行得角相等，即可得证相似． 【解答过程】证明：∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE∥BC，EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△EFC． 【变式1-1】（2021•越秀区校级二模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD． 【解题思路】根据等腰三角形的性质得出∠PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可． 【解答过程】证明：∵PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC， ∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC， 又∵∠A＝∠BPD， ∴∠B＝∠APC， ∴△APC∽△PBD． 【变式1-2】（2020秋•宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD． 【解题思路】利用“两角法”证得结论． 【解答过程】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BCD＝90°． ∴∠ACB+∠ACD＝90°． 又∵AC⊥DE， ∴∠CDE+∠ACD＝90°． ∴∠ACB＝∠CDE． ∴△ABC∽△ECD． 【变式1-3】（2020秋•淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE． 【解题思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似． 【解答过程】证明：∵∠FEC＝90°， ∴∠AEF+∠DEC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°， ∴∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠DEC＝∠AFE， 又∵∠A＝∠D， ∴△AEF∽△DCE． 【题型2 相似三角形的判定（判定定理2）】 【例2】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由 （1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20 （2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20 【解题思路】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论． （2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论． 【解答过程】解：（1）∵， ∴△ABC∽△A′B′C′ （2）∵ ∴△ABC∽△A′B′C′． 【变式2-1】（2020秋•南召县期中）如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，．当时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由． 【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可． 【解答过程】解：相似，理由如下： ∵． ∴， 又∵， ∴， ∴△ADC∽△A′D′C′， ∴∠A＝∠A′， 又∵， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【变式2-2】（2020秋•肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由． 【解题思路】设小正方形的边长为1，分别求得两个三角形各边的长，再根据各边是否对应成比例来判定两三角形是否相似． 【解答过程】解：结论：相似． 理由：设正方形的边长为1，则AC，CD＝1，AD，EC＝2，EA， ∵ ∴△ACD∽△ECA． 【变式2-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； （3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点． 【解题思路】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理