专题23.1 成比例线段-重难点题型-2021-2022学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）【学科网名师堂】

专题23.1 成比例线段-重难点题型 【华东师大版】 【知识点1 成比例线段的概念】 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型1 成比例线段的概念】 【例1】（2020•浉河区校级一模）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为　3　． 【解题思路】由四条线段a，2，6，a+1成比例，根据成比例线段的定义解答即可． 【解答过程】解：∵四条线段a，2，6，a+1成比例， ∴解得：a＝3， 故答案为：3． 【变式1-1】（2020秋•岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20 【解题思路】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答过程】解：A、∵1×30≠2×20，∴四条线段不成比例； B、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例； C、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例； D、∵5×20＝10×10，∴四条线段成比例； 故选：D． 【变式1-2】若a：b＝c：d，则下列各式成立的是（　　） A．a：d＝c：b B．b：d＝c：a C． D．（ b+d≠0） 【解题思路】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答过程】解：A、∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，故本选项错误； B、∵a：b＝c：d，∴bc＝ad，∴b：d＝a：c，故本选项错误； C、∵1，1，∴，故本选项错误； D、令k，则k，故本选项正确； 故选：D． 【变式1-3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【解题思路】（1）利用a：b：c＝3：2：6，可设a＝3k，b＝2k，c＝6k，则3k+2×2k+6k＝26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解． 【解答过程】解：（1）∵a：b：c＝3：2：6， ∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k， 又∵a+2b+c＝26， ∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2， ∴a＝6，b＝4，c＝12； （2）∵x是a、b的比例中项， ∴x2＝ab， ∴x2＝4×6， ∴x＝2或x＝﹣2（舍去）， 即x的值为2． 【题型2 成比例线段概念的应用】 【例2】（2021春•江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为　1.5　km． 【解题思路】设A、B两地的实际距离为x厘米，根据比例尺的定义得到，然后利用比例性质计算出x，再把单位化为千米即可． 【解答过程】解：设A、B两地的实际距离为x厘米， 根据题意得， 解得x＝150000， 150000cm＝1.5km． 故答案为1.5． 【变式2-1】（2020秋•高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　） A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形 【解题思路】根据比例线段和三角形的三边关系解答即可． 【解答过程】解：∵三条线段a、b、c的长满足， 设a＝（1）k，b＝2k， 则c＝（1）k， ∵， ∴不能围成三角形， 故选：D． 【变式2-2】（2020秋•渝中区期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴11． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 【解题思路】（1）把要求的式子化成1，再进行计算即可得出答案； （2）根据比例的性质得出，，再分别相除即可得出答案． 【解答过程】解：（1）∵， ∴11． （2）∵， ∴11， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现（分比性质）：若，则． 已知①；② 问题解决： （1）仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； （2）证明（1）中的分比性质等式成立 【解题思路】（1）利用分比性质解决问题即可． （2）设k，则a＝kc．b＝kd，可得k﹣1，k﹣1，由此即可解决问题． 【解答过程】解：（1）①若，则．②若，则． （2）