第一章 第8课时 回顾与思考-2020-2021学年九年级下册课前课中数学【优课堂给力A+】北师大版

第一章　直角三角形的边角关系 第８课时　回顾与思考 １．直角三角形ABC(∠C＝９０°)五元素(除直角外)的 关系(设 ∠A,∠B,∠C对边分别为a,b,c): (１)三边之间的关系:　a２ ＋b２ ＝c２　(勾股定理); (２)两锐角之间的关系:∠A＋ ∠B＝　９０°　; (３)边角的关系:sinA＝cosB＝　ac　 ; cosA＝sinB＝　bc　 ; tanA＝　ab　． ２．解直角三角形应用问题要涉及的几个概念 (１)仰角与俯角:在测量时,视线与水平线所成的锐 角中,视线在水平线上方的叫仰角,在水平线下方 的叫俯角．(如图１) (２)坡度与坡角:坡面的铅直高度h和水平宽度l的 比叫做坡度(或叫做坡比),把坡面与水平面的夹角 α叫做坡角．(如图２) (３)方向角:一般是指以观测者的位置为中心,将正 北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所 成的角(一般指锐角)．(如图３) 图１ 　 图２ 　 图３ ３．利用直角三角形的边角关系(即三角函数)来解决 问题的一般步骤: (１)审题:通过图形(题目未画出图形的,可自己画 出示意图),弄清已知和未知; (２)找到有关的直角三角形,或通过作辅助线构造 出有关的直角三角形,把问题转化为直角三角形边 角关系的问题; (３)根据直角三角形边角之间的关系解决有关的 问题． 考点一　锐角三角函数的定义 例１在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,a＝２,c＝６,求 sinA,cosA 和tanA 的值． 【思路点拨】先利用勾股定理计算出b的值,然后 根据正弦、余弦和正切的定义求解． 解:b＝ ６２ －２２ ＝４２, 所以sinA＝ac ＝ ２ ６ ＝ １ ３ , cosA＝bc ＝ ４２ ６ ＝ ２２ ３ , tanA＝ab ＝ ２ ４２ ＝ ２４． 　 　　　　 　　　　　 　　　　　１．在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AB＝１３,BC＝１２,则下 列三角函数表示正确的是 (A ) A􀆰sinA＝１２１３ B􀆰cosA＝ １２ １３ C􀆰tanA＝５１２ D􀆰tanB＝ １２ ５ ２．在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,tan∠B＝１２ ,AB＝１０, 则AC＝　２５　． ３．在△ABC 中,∠C＝９０°,BC＝３,AB＝５,求sinA, cosA,tanA 的值． 解:∵Rt△ABC中,∠C＝９０°,BC＝３,AB＝５, ∴AC＝ ５２ －３２ ＝４, ∴sinA ＝BCAB ＝ ３ ５ ;cosA ＝ACAB ＝ ４ ５ ;tanA ＝BCAC ＝３４． ４．利用三角函数的定义我们可以证明某些结论,已知 △ABC中,AB＝c,BC＝a,CA＝b,则有c２ ＝a２ ＋b２ －２abcosC,你能证明这个结论吗? 证明:过点A 作AD ⊥CB,垂足为D, 在Rt△ADC中,AD＝bsinC,CD＝bcosC, ∴BD＝a－bcosC, 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 BD２ ＋AD２ ＝AB２, 即(a－bcosC)２ ＋(bsinC)２ ＝c２, ∵sin２C＋cos２C＝１, ∴c２ ＝a２ ＋b２ －２abcosC． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１１􀅰 优课堂　 A＋􀅰九年级数学(下) 考点二　三角函数值 例２ 计 算:tan４５° －sin２６０° － (１－tan６０°)２ ＋２cos３０°． 【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值进而 计算得出答案． 解:原式 ＝１－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －(３－１)＋２× ３２ ＝１－３４ － ３＋１＋ ３ ＝５４． 　 　　　　 　　　　　 　　　　　５．比较大小: (１)cos２７°　 ＞ 　cos６３°; (２)sin４４°　 ＜ 　cos４４°; (３)sin２４°　 ＝　cos６６°; (４)cos１５°　 ＜　tan５５°． ６．计算: ３tan３０°－２tan６０° sin６０° ＋cos ２２５°＋sin２２５°． 解:原式 ＝ ３－２３ ３ ２ ＋cos２２５°＋sin２２５° ＝ －２＋１ ＝ －１． 考点三　解直角三角形 例３如图,在Rt△ABC中,∠C＝９０°,