第一章 第7课时 1.6 利用三角函数测高-2020-2021学年九年级下册课前课中数学【优课堂给力A+】北师大版

第一章　直角三角形的边角关系 第７课时　１．６利用三角函数测高 　 　　　　 　　　　　 　　　　　 １．利用三角函数测高分为两类: (１)底部能够直接到达时,需要测出仰角、测量点与 底部的距离,利用三角函数求出高度; (２)底部不能直接到达时,需要测出两个仰角,测量 点的距离,利用三角函数建立方程求出高度． ２．利用三角函数解应用题时,关键是找出直角三角形 或者通过作辅助线构造直角三角形,再利用解直角 三角形的知识求解． 考点一　仰角与俯角问题 例１如图,某居民楼AB 的前面有一围墙CD,在 点E 处测得楼顶A 的仰角为２５°,在F 处测得楼顶A 的仰角为４５°,且CE 的高度为２m,CF 之间的距离为 ２０m(点B,F,C在同一条直线上)． (１)求居民楼AB 的高度; (２)求出A,E 两点之间的距离． (参考数据:sin２５°≈０．４２,cos２５°≈０．９１,tan２５°≈ ０．４７,结果保留整数) 【思路点拨】(１)过点E 作EM ⊥AB,设AB 为x, 根据等腰直角三角形的性质得到BF＝AB＝x,根据 正切的定义列出方程,解方程得到答案;(２)根据正弦 的定义列式计算即可． 解:(１)过点E 作EM ⊥AB,垂足为M,如图, ∴四边形ECBM 为矩形, ∴EM＝BC,BM＝CE＝２m．设AB 为x m, 在Rt△ABF中,∠AFB＝４５°,∴BF＝AB＝xm, ∴BC＝EM＝BF＋FC＝(x＋２０)m． 在Rt△AEM 中,∠AEM ＝２５°,AM ＝AB－BM ＝AB－CE＝(x－２)m, ∵tan∠AEM＝AMEM ,∴x－２x＋２０≈０．４７ , 解得x≈２２, 即居民楼的高约为２２m; (２)由(１),得ME＝BC＝x＋２０≈２２＋２０＝４２(m), ∵cos∠AEM＝EMEA ,∴４２AE≈０．９１ , 解得AE≈４６, 即A,E 之间的距离约为４６m． 解答图 　 　　　　 　　　　　 　　　　　１．跳伞运动员小李在２００m 高的空中测得地面上的 着落点A 的俯角为６０°,那么此时小李离着落点A 的距离是 (D ) A􀆰２００m B􀆰４００m C􀆰２００３ ３ m D􀆰 ４００ ３ ３ m ２．如图,小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度,将测 角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为１８３m 的地面上,若测角仪的高度为１．５m,测得教学楼的顶 部A处的仰角为３０°,则教学楼的高度是　１９．５m　． ３．如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一 平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E 点处测 得旗杆顶端的仰角 ∠AED ＝５８°,升旗台底部到教 学楼底部的距离DE＝７m,升旗台坡面CD 的坡度 i＝１∶０．７５,坡长CD＝２m,若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝１m,求旗杆 AB 的高度约为多 少? (保 留 一 位 小 数．参 考 数 据:sin５８°≈０．８５, cos５８°≈０．５３,tan５８°≈１．６) 　　 解答图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１１􀅰 优课堂　 A＋􀅰九年级数学(下) 解:延长AB 交ED 的延长线于点M,过点C 作CJ ⊥DM 于点J,如图,则四边形BMJC是矩形, 在Rt△CJD 中,CJDJ＝ １ ０．７５＝ ４ ３ , 设CJ＝４km,DJ＝３km, 则有９k２ ＋１６k２ ＝４,∴k＝２５ , ∴BM＝CJ＝８５ m ,BC＝MJ＝１m,DJ＝６５ m , EM＝MJ＋DJ＋DE＝４６５ m , 在Rt△AEM 中,tan∠AEM＝AMEM , ∴１．６＝ AB＋８５ ４６ ５ ,解得AB≈１３．１． 故旗杆AB 的高度约为１３．１m． 考点二　其他问题 例２如图所示,点 A,B 分别为两个村庄,AB, BC,CD 为公路,BD 为农田,AD 为河宽,且 CD 与 AD 互相垂直．经测量,AB＝４３km,BC＝１０km,CE ＝６km,∠BDC＝４５°,∠ABD＝１５°． (１)求出河宽AD(结果保留根号); (２)求出公路CD 的长． 　　 解答图 【思路点拨】(１)分别作BF⊥DA,BG⊥CD,解直 角△ABF 可求得